Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
Для доказательства того, что
= (Ю.41)
сравним поведение спин-спиновой корреляционной функции на больших
расстояниях и поведение пропагатора. Рассмотрим спин-спиновую
корреляционную функцию Гп,т в пределе больших п а т - 0, тогда для п 2> |
без учета предэкспонен-циальных степеней п получим
Г", о - ехр (- . (10.42)
Рассмотрим теперь пропагатор Dm{-inx) для больших п и m - 0; он равен
D0 (- inx) - (Q | фй exp (- Hnx) <f>01 Q) exp (Ейпх). (10.43)
Представляя это выражение в виде суммы по всем собствен-
ным состояниям |v) оператора Н, получаем
D0 (- inx) = Y, ехр {- (Ev-E0) пх) |(Q | ф0\v) |2. (10.44)
V
При больших п доминировать будут члены, соответствующие наименьшей
энергии. Из-за инвариантности относительно замены ф-+ -ф состояние с
наименьшей энергией, которое дает главный вклад в (10.44), не является
основным, а соответствует первому возбужденному состоянию. Согласно
общепринятому мнению, первое возбужденное состояние совпадает с
одночастичным состоянием, когда частица покоится. (Это утверждение можно
продемонстрировать с помощью теории возмущений по К [75], однако оно не
доказано в общем виде.) Разность энергий ?v- Е0 для этого состояния равна
массе частицы рй. Следовательно, для п -> оо
D0(- шт) ~ехр(- Цдпх). (10.45)
(Сумма по v превращается в интеграл по импульсу одночастичного состояния
и определяет степень п в предэкспонен-циальном множителе; см. [122].)
Сравнивая соотношения (10.40), (10.42) и (10.45), находим
1
РяТ=-|-.
Поскольку мы выбрали т = а, то получили уравнение (10.41).
Чтобы увидеть, что корреляционная длина | при а-* 0, по всей видимости,
конечна, рассмотрим в пределе а = т->-0
159
ГЛАВА 10
в рамках статистической механики модель с параметрами, определяемыми
соотношениями (10.28). Если масштабный множитель ? фиксирован, тогда все
параметры Ь, и0 и К=К\ = К2 при а ->- 0 стремятся к нулю, что не
очень желательно. Для конечных а величину ? можно выбрать
по своему усмотрению,
не изменяя ? (см. ниже); при специальном выборе
? = a(d-2)/2 (10.46)
параметры Ъ и К. при а->0 имеют ненулевые пределы:
b-+2d,
(10-47)
Для любых а получаем
"0 = A0a4_d, (10.48)
следовательно, и0 = К0 при d = 4 (u0-*0 при d <L 4, если a->0). Причины
независимости корреляционной длины ? от параметра ? связаны с тем, что
переход от фт к sm представляет собой просто замену переменных; если
производится замена ? на ?', это совсем не изменяет средних по вакууму от
фт, а спин-спиновая корреляционная функция Гп,т изменяется только на
масштабный множитель (?'/?)2. Это не меняет величину ?.
Для d = 4 и а-*0 параметры в статистической модели суть: 6 = 8, К = 1, "о
= ^о- Чтобы корреляционная длина ? была бесконечна, параметр К должен
равняться своей критической величине. Если Ао=0, критическая величина К
равна 1 (см. гл. 3) и корреляционная длина ? бесконечна. Для Ао Ф 0
величина Кс в общем случае не равна 1 и корреляционная длина ? конечна.
Например, для больших Ао случай К = 1 можно легко рассмотреть с помощью
разложения по К и, как оказывается, мы тогда нигде не приблизимся к
критической точке (это аналогично разложению, предложенному Шиффом
[123]).
Для d < 4 и а = 0 параметр и0 равен нулю, следовательно, К = 1, т. е.
своей критической величине для любого значения Ао. Однако аккуратное
исследование того, как ведет себя корреляционная длина ? при а -> 0,
показывает, что, когда d изменяется в области 3 d < 4, величина (?а)-1
при a -*-0 по-прежнему расходится.
На этом отступление заканчивается.
Основная цель этой главы состоит в построении некоторой теории поля на
основе статистической механики. В этом слу*
160
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
чае у нас нет априорных правил, которые бы указывали, как параметры b, и0
и К должны зависеть от постоянной решетки а. В статистической механике не
возникает таких постоянных, потому что все длины естественным образом
выражаются в единицах постоянной решетки. В теорию поля постоянную
решетки а приходится вводить как некоторый нетривиальный параметр, потому
что для физика-теоретика, занимающегося полем, естественной единицей
длины является величина, обратная массе цй- Даже если не полагать p,R =
1, необходимо, чтобы величина цй при а -> 0 имела конечный предел.
Так как мы хотим построить теорию поля, то логично рассмотреть
статистическую механику в таких единицах, при которых цд = 1. Эти единицы
можно использовать для любого выбора статистических параметров Ь, и0 и К
вне критической точки. Постоянную решетки в этих единицах запишем в виде
_ 1
а~ l(b, К) •
Имеется некоторая характерная система единиц, связанная с параметрами Ь,
и0 и К, при работе, в которой величина ця остается фиксированной
независимо от того, как изменяются эти параметры. В частности, удерживая
величину ця фиксированной, можно получить предел а -> 0, если положить
К~*Кс(Ь, и0), где КС(Ь, и0) -критическая величина К-
Таким образом, определить конечную массу в пределе а -> 0 довольно
