Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
Существование предела в этом случае установлено (в предположении, что
существует неподвижная точка) в гл. 12. Именно эта теория содержит
тензорные операторы с аномальными размерностями, которые были вычислены в
гл. 9.
б. Обычно считается само собой разумеющимся, что в квантовой теории
гильбертово пространство имеет положитель^ ную метрику (хотя со стороны
Гейзенберга и других имел место некоторый флирт с квантовыми теориями
поля с индефинитной метрикой). Использование формализма матрицы переноса
приводит к тому, что статистическая механика определяет квантовую теорию
поля с положительной метрикой на решетке. Это нетривиальный результат,
так как в статистической механике можно построить такие модели, для
которых нельзя найти эквивалентные квантовые теории поля с положительной
метрикой. Простым примером является гауссова модель со взаимодействием
\[r0 + q2]2oqa-q. (10.49)
я
Пропагатор в этой теории равен
1
(Го + Ц2)2
и имеет двойной полюс в точке q2 = -го. Двойной полюс не может иметь
место для квантовой теории с положительной метрикой. Следовательно, эту
теорию нельзя представить как теорию поля на решетке, имеющую матрицу
переноса. Основное ограничение подхода, основанного на матрице переноса,
заключается в том, что взаимодействия между рядами рассматриваются только
для ближайших соседей, так что выполняется соотношение (10.7).
Следовательно, решеточные приближения для (10.49) с необходимостью
включают в себя взаимодействия соседей, по крайней мере следующих за
ближайшими,
Глава It
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Цель этой главы - дать точную формулировку ренормализационной группы в
дифференциальной форме. Полученные уравнения оказываются очень сложными,
поэтому мы не будем рассматривать их слишком подробно. Внимание будет
уделено идеям, лежащим в основе этого подхода. (Выведенные здесь
уравнения содержались в неофициальном сообщении К. Вильсона на
конференции в Ирвине (1970); ранее они не были опубликованы.)
Формальное обсуждение следствий, к которым приводит ренормализационная
группа, лучше всего проводить, если представить ее в дифференциальной
форме. Дифференциальная форма полезна также и при исследовании свойств е-
разложения во всех порядках (в частности, для решения вопроса типа
"существует ли оно"; на этот вопрос до сих пор еще нет ответа). Большие
возможности, связанные с этой формой, возникают и потому, что мы теперь
можем получить приближенные формы преобразования, позволяющие провести
численное интегрирование, а это в свою очередь приводит к решению
проблем, которые нельзя решить каким-либо другим способом.
В предыдущих главах для получения дискретного преобразования,
соответствующего ренормализационной группе, было проведено интегрирование
спиновых компонент oq с \q\>xk- Затем был изменен масштаб оставшихся
компонент oq (\q [ < V2) в результате замены их на где ? -
постоянная масштабного преобразования.
Очевидный путь построения инфинитезимального преобразования - проведение
интегрирования только по тем ст?, для которых импульсы q изменяются в
области
1 -bt<\q\< 1,
6*
163
ГЛАВА 11
где Ы мало. Это, однако, вызывает затруднения. Дело в том, что величина
порядка 6t обычно возникает тогда, когда фейн-мановская диаграмма из этой
области имеет не более одного внутреннего импульса; однако при
определенном (частном) выборе внешнего импульса (например, при р = 0, см.
фиг. 11.1) два внутренних импульса будут равны соответственно q и -<7, в
таком случае они оба могут одновременно попасть в область 1 -6^ <|<7|< 1.
Этот факт и порождает проблему. Дальнейшее обсуждение этой проблемы см. в
работе [5] из списка дополнительной литературы.
Фиг. 11.1. Диаграмма Фейнмана, которая приводит к трудностям при
инфинитезимальной формулировке дискретного преобразования,
соответствующего ренормализадноиной группе.
Иначе говоря, желательно избежать возникновения в импульсном пространстве
резких границ между проинтегрированными и непроинтегрированными спиновыми
компонентами aq. Опасность связана с тем, что резкие границы в импульсном
пространстве приводят к нелокальным взаимодействиям в координатном
пространстве, а они крайне нежелательны (см. гл. 1).
Чтобы избежать резких границ, используем некоторый специальный прием.
Между проинтегрированными и непроинтегрированными переменными введем
некоторую гладкую интерполирующую процедуру и назовем ее "неполное
интегрирование". Это позволит заменить резкую границу в <7-про-странстве
на конечный интервал по q, на котором компоненты оч являются "не
полностью" интегрируемыми (фиг. 11.2). Существует много способов
реализации идеи неполного интегрирования. Конкретная реализация,
представленная ниже, как оказалось, имеет много полезных особенностей,
однако наверняка не является уникальной. Мы объясним идею реализации
процедуры неполного интегрирования на примере обычного, а не
функционального интеграла.
164
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
