Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
по а,. а б в
как это показано на фиг. 4.2, б, линию, соединяющую две внешние линии.
Такая линия называется пропагатором" Если же внешняя линия соответствует
переменной а0 9,она остается без изменений. Диаграммное представление для
функционального интеграла (4.10) получается, если рассмотреть все
возможные способы спаривания некоторых внешних концов линий, причем
другие концы остаются неспаренными. При выполнении этой процедуры
различие между топологически эквивалентными диаграммами не делается, т.
е. все они представляются одной диаграммой. Например функциональный
интеграл, содержащий само взаимодействие Зви включает в себя три
топологически неэквивалентные диаграммы, изображенные на фиг. 4.2. Когда
мы из одной вершины образуем все возможные спаривания, диаграмма без
спариваний (фиг. 4.2, а) будет встречаться один раз, диаграмма с одним
спариванием (фиг. 4.2,6) - 6 раз, в то время как диаграмма с двумя
спариваниями (фиг. 4.2, в)- 3 раза. Диаграммы, которые возникают во
втором порядке разложения, показаны (с числовыми множителями,
определяющими, сколько раз встречается каждая диаграмма после проведения
спариваний) на фиг. 4.3 [в каждый числовой множитель здесь входит так же
множитель х/2, на который в (4.13) умножается величина ЗЩ\.
3*
67
ГЛАВА 4
Диаграммы, приведенные выше, вычисляются следующим образом. Рассмотрим,
например, первую диаграмму, изображенную на фиг. 4.3, в. Вначале мы имеем
две вершины; до интегрирования по сп это соответствует
и2 ^ \ (2n)dbd (? + <7, + <72 + q3) tyW* X
ч <?"
X 5 ... 5 (2n)dbd (<jr4 + q5 + q6 + q7) aqaq a4p4t. (4.17)
4i 4i
Для каждой внешней линии переменная а заменяется на <то, в то же время
для каждой внутренней линии соответствую-
|{x + tf9+jg}{x+ff9+jg} збхх+48->*-+3^-<г-
а в
48-О-+72)00 + 72-*(r)- + 36 000+/2<J>
г
Фиг. 4,3. Диаграммы второго порядка после проведения интегрирования ПО
О].
щие переменные а заменяются пропагатором. Для этого примера результат
имеет вид
ц2 ^ ^ (2n)d6d (q -f- qi + q2 + </з) (2n)dbd (q4 -j- ... +
</7) X
4 4i
X (2я) V (</2 + qs) {2n)dbd {q3 + qr) [qt -hr] ' [ql + r]"' X
Х<Ти.^о.,^о"Л"., <4Л8>
причем величины |^|, |^i|, (^4] и 1475j ограничены сверху величиной '/г.
в то время как величины | q21, I 1. I I и I ^71 должны лежать между '/г и
1. Исключая из (4.18) все 6-функции и умножая интеграл на 36, получаем
36
ч
j j j°". А,Л. А,q\ + r (" + ,. + ,,у+г ' (4 |9)
здесь область изменения q2 такова, что величины \q2\ и I q + q\ + ?21
лежат между '/г и 1.
68
МОДЕЛЬ S'
Выражение (4.19) соответствует вкладу одной диаграммы в интеграл г
^ ехр {ЖР [о^] + Ж1 fao + ]}¦ о"
Из выражения (4.10) вклады других диаграмм вычисляются аналогичным
образом. Заметим, однако, что целью наших вычислений является величина Ж
[а']. Для этого требуется, во-первых, взять логарифм от интеграла, а во-
вторых, заменить сто на о'. Это можно проделать в рамках диаграммной
техники. Взятие логарифма от интеграла эквивалентно исключению из
рассмотрения всех несвязных диаграмм. Во втором порядке по и несвязные
диаграммы изображены на фиг. 4.3, а. Таким образом, с точностью до
второго порядка по и логарифм от интеграла включает в себя диаграммы,
изображенные на фиг. 4.1, плюс те диаграммы, которые изображены на фиг.
4.2, а - в. Этот факт легко проверить точно. Аналогично, путем прямой, но
утомительной проверки, можно убедиться, что если Ж/ - сумма всех связных
диаграмм во всех порядках по и, то ехр {Ж} - сумма всех связных и
несвязных диаграмм во всех порядках по и.
Поскольку в Ж' [o'] мы будем рассматривать только члены, зависящие от а',
диаграммы без внешних линий (см. фиг. 4.2, в и 4.3, г) также следует
опустить (нам необходимо было бы учесть эти диаграммы, если бы мы
вычисляли свободную энергию, если же мы рассматриваем только спин-
спиновую корреляционную функцию, они не существенны). Наконец, замена оо
величиной о' означает просто подстановку вместо величины о0 ,
соответствующей внешней линии, величины t,a'2q. Затем, чтобы привести Ж'
к виду (4.9), мы должны провести замену переменных q на 2q.
Итак, совокупность правил для вычисления произвольной диаграммы можно
представить в следующем виде:
1. Линиям каждой вершины сопоставляются импульсы, причем предполагается,
что они все "входящие".
2. Импульсы, соответствующие внутренним линиям, изменяются от Уг до 1, а
импульсы, соответствующие внешним линиям, от 0 до '/2.
3. Каждой внутренней линии сопоставляется пропагатор
{2n)d b(d) (qr, + q2) q\ + r
здесь q\, q2 - два импульса, приписываемые этой линии.
69
ГЛАВА 4
4. Каждой вершине сопоставляется множитель и (2jt)d6(d) (q{ + q2 + Яг
+ Я*)-
5. Каждой внешней линии сопоставляется спиновая переменная
6. Интеграл \ берется по всем внутренним и внешним
импульсам согласно правилу 2.
Выписывая в явном виде вклады только от некоторых диаграмм, изображенных
на фиг. 4.2 и 4.3, для функций И2, *4 и т. д., которые входят в новое
взаимодействие Ж [см. (4.9)], получаем следующие выражения:
