Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
')тзт4/8- Полное число таких чле-
нов равно 24, т. е. полному числу всевозможных способов действия каждой
из производных на р или р. Однако многие из этих членов совпадают между
собой. Например из-за симметрии матрицы А~\ член 8 совпадает
с членом (А~\хтМ XJ8' Очевидно также, он совпадает
и с членом Собирая все совпадающие
члены, получаем
Пт, т<).= с[(Д-,)",ш,(Д-')ш".+
+ (Д'1)",",(Д"')т,ш, + (Д''|)"л(Д (з.8)
Общее правило для любого k формулируется аналогично. Ре-
I I
зультат выглядит следующим образом: пусть smxsm, означает матричный
элемент (Л-1) ; назовем s^sm, "спариванием",
тогда I (ти ..., тк) равно сумме всех возможных спариваний произведения
smiSm2 ... Smk, причем каждое sm[ входит в некоторое спаривание.
Например:
Г-1 I I I I | I
I (pi[) П%2-, m4) = С (SrmStmSmtSfjn "Ь ^гп^т^т^гпА "Ь
I . I "Ь SmiSm,SmtSm^), (3.9)
что совпадает с результатом (3.8). Величина /(mi, ..., т6)
СОСТОИТ ИЗ SmxSmiSmtSmtSm!lSms и 14 других членов. Заметим, что нет
необходимости считать все т,- различными. Предположим, например, что мы
имеем дело с тривиальными матрицами 1 X U так что все trii с
необходимостью равны 1. Тогда интеграл (3.6) от sf равен ЗСЛП2, интеграл
от s? равен 15СЛП3 и т. д. в соответствии со стандартными формулами.
Отметим, что правило для вычисления /(ти ..., mh) аналогично теореме Вика
из квантовой теории поля [103].
52
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
В интересующих нас случаях матрица Апт зависит только от разности я- т и
обратную матрицу (Л_1)"т можно вычислить с помощью преобразования Фурье:
Ап-т = J ехр [fa • (я - ш)] Л fa), (ЗЛО)
я
где
q -Я -я
Так как матрица Л в Ч'-представлении диагональна, обратная матрица
получается в результате фурье-преобразования просто обратной величины Л
(q):
(л_1)"_т = J ехр [iq • (л - /л)] Л-1 fa). (ЗЛ1)
я
Вернемся теперь к гауссовой модели. Мы можем переписать интересующие нас
выражения [см. (3.2)] в виде
*Z Z s"s"+? -т6 Е s"=*Е Е (*"+? -s")2 ~
п у я п 7
-(1)J)s2n( (3.12)
П
где мы для удобства предположили, что сумма по i пробегает только
положительные значения; с? - размерность решетки. Если выразить (3.12)
через
Oq = ? ехр (- fa • я) s",
Я
то получим
" Т S Е 1 ехр ^ - 1 I2 + aqa-q • (3.13)
где
r = b- 2dK, (3.14)
a qi-i-я компонента q.
Отметим теперь три дополнительных изменения, которые будут сделаны в
модели. Первое - замена |exp(fai)-1|2 его разложением при малых q, а
именно, замена на q\. Второе - изменение области интегрирования по q, т.
е. теперь вместо -п <. qi<. п имеем 0<fa|<l. Третье - перенормировка
53
ГЛАВА 3
спиновых переменных так, чтобы К = 1. Итак, окончательно взаимодействие
принимает вид
" i \ (q2+г) аяа-ч' (ЗЛ5)
я
где
J =(2n)~d^ddq для 0<|?|< 1 и г = -^-. ч
Второе изменение обусловливает некоторые идейные затруднения. При 0 < |^|
< 1 невозможно выразить исходные переменные sn через функциональную
переменную aq, поэтому мы вынуждены определить статистическую сумму как
функциональный интеграл по aq вместо старого определения с помощью
обычных интегралов по sal). Однако для настоящих целей это не является
препятствием. Дело в том, что метод преобразования переменных
интегрирования (сдвиг) для функциональных интегралов так же обоснован,
как и для обычных интегралов, и его можно так же легко использовать.
Основанием для проведения замены переменных в функциональном интеграле
является то, что функциональный интеграл всегда определяется как предел
обычных интегралов, каждый из которых допускает сдвиг переменных
интегрирования. Например, функциональный интеграл по aq можно представить
как предел обычных интегралов по переменным а1/п, если в этом пределе
расстояния между точками qm стремятся к нулю (см., например, [104]).
Замена |ехр(г^г)- 1 |2 на q\ не приводит к существенным изменениям в
модели, поскольку в конечном счете мы будем интересоваться только
поведением модели в длинноволновом пределе, которое определяется вкладом
|ехр(iqi)-1|2 при малых q. По тем же причинам несущественно и изменение
области определения |</|.
Теперь можно вычислить корреляционную функцию в рамках описанной выше
модели. Для этого удобно ввести спиновое поле s (х):
s (х) = ^ ехр {iq • х) оч, 0<|?|<1*, (3.16)
__________________ я
') Это приводит к некоторому несущественному в критической области (см.
ниже) изменению исходной модели (3.2).-Прим. перед..
54
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
оно заменяет sn. Тогда корреляционная функция имеет вид Г (х) = J s(ж)
s(0)ехр| - у J "ут^^ + г) (3.17)
где ^ означает функциональный интеграл по aq, a Z - функ-а
циональный интеграл только от экспоненциального выражения. В результате
для Г (ас) получим
Г(*)=$ exp {iq - х) J exp (iq • х) fq. (3.18)
я я
Сейчас это выражение будет выведено. Имеем Г W = J \ exp {iq • х) ^
о"о4, ехр | - у ^ (q2 + г) aqa_q
ЯЯ1 Я А Я
(3.19)
Функциональный интеграл вычисляется с помощью производящей функции:
z (/') -X S ехР ( - т \ (я2 + г) аяа-я + S '-?°Л • <3-20)
