Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
пренебречь. Однако уравнение для и' существенным образом включает в себя
члены порядка е2. Поэтому выражение (5.2) значительно изменилось бы, если
бы в уравнении для и' появился член, линейный по до.
Рассмотрим теперь случай, когда уравнение для до' имеет вид
до7 = -j- до -|- Члены порядка и3, u2w и т. д. (5.6)
На этот раз
до* ~ О (е3),
и поэтому, даже если бы в уравнении (5.1) для и' появился
член, линейный по до, это уравнение при малых в осталось бы
справедливым.
Резюмируя высказанные соображения, приходим к выводу, что простое
уравнение для и' может стать неверным, если имеется несущественная
переменная до, причем такая, что, во-первых, до* ~ 0(e)2 и, во-вторых,
она входит в уравнение для и' линейно. Сейчас мы объясним, почему эта
возможность не реализуется для точных уравнений, определенных в
предыдущей главе. В точных уравнениях взаимодействие (после нескольких
итераций) имеет вид')
Ж = - \ J u2(q)aqa-q- J J J J б (?, + q2 + q3 + q4) X
Я Ях Яг Яг Як
Х"4(<7" <72, <73> OVW7*-
- (Члены 6-го порядка) - (Члены 8-го порядка) - .... (5.7)
') Взаимодействие (5.7) получается из исходного взаимодействия
(4.2) в результате некоторого конечного числа преобразований (4.7),
которые рассматривались в предыдущей главе. Теперь это взаимодействие,
содержащее все возможные степени спиновой компоненты oq, можно принять за
исходное (см. гл. 1) и приступить к выводу уравнений ренормализа-цнонной
группы. - Прим. перев.
83
ГЛАВА 5
Как уже обсуждалось на протяжении нескольких предыдущих глав, мы в этой
системе интегрируем высокочастотные моды. После соответствующего
изменения масштабов импульсов и полей возникает новая система, которая
описывается гамильтонианом, совпадающим по форме с (5.7), однако
выраженным в новых (штрихованных) переменных: .
X u\(qv q2, Яа>-Я*)а'ч,а'ч.ач/ч< ~ <Член 6-го п°Рялка)' - ... . (5.8)
Соотношения между и\ и м(r) можно найти с помощью техники, изложенной в гл.
4 (предполагая при этом, что и^{р) зависит только от \р\ - р\ такая
зависимость обусловлена инвариантностью уравнений относительно вращений).
В результате получим
ч
Я1 Яг Яг Я\
Р
+ Член 2-го порядка + • • • J t
ы / " (1L Ж Л*Л _
1 П2 ' 2' 2' 2 )
~Ь Член 2-го
+
МОДЕЛЬ' S< (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Заметим, что аргумент функции и2, как только она появляется в
знаменателе, должен иметь значение между 7г и 1, например: 1/2 < р < 1 и
т. д. Ясно, что полная система уравнений
(5.9) является непреодолимо трудной для анализа. В частности, уравнение
для w' является нелинейным интегральным уравнением. Поэтому
предположение, что (5.9) можно заменить алгебраическими уравнениями (5.1)
(в низших порядках по в), является чрезвычайно важным. Доказательство
того, что алгебраические уравнения достаточны для определения неподвижной
точки г*, и*, опирается в основном на определенную характерную
особенность несущественной переменной "6-
Точное выражение для неподвижной точки, к которой приводит система (5.9),
определяется совокупностью фиксированных функций u2(q), u\(q^, ..., <у4),
"'(у,, ..., q6) и т. д. Чтобы проверить, является ли система простых
уравнений обоснованным приближением, допустим, что с точностью до s эти
фиксированные функции сводятся к двум определенным постоянным г* и и*, а
именно:
"* (?) = r* + q2 + 0 (в2),
<(?" •••. ?4) = "* + 0(в2), (5Л°)
"б(?1> •• •> ?6) = °(82) и т- Д-
Согласованность этого предположения будет проверена ниже.
Рассмотрим вначале уравнение для и2. Запишем
";(?) = ?2 + г*-К(<7), (5.11)
где v\ (q) - остаток. Параметр масштабного преобразования ? будем
подбирать так, чтобы в результате коэффициент перед q2 получился равным
единице. Пусть (5.10) представляет разложение в окрестности q2 = 0, так
что
о* (q) ~ <?40 (в2). (5.12)
Подставив (5.11) в уравнение (5.9) для u2(q), получим
ГЛАВА 5
Теперь с точностью до г членами + ... можно пренебречь и последний член в
(5.13) привести к виду
12"*S-^p7r + 0(e2). (5.14)
р
Для определения параметра ? (как и в предыдущих главах) необходимо
потребовать, чтобы члены, пропорциональные q2, в левой и правой части
(5.13) были равны. Это даст
?22"d = 4 + 0(V). (5.15)
(Дальнейшее обсуждение свойств параметра ? содержится в конце этой
главы.) Теперь для г* получаем уравнение
г*+12и*$7п|грг + 0(в2)}. (5-16)
а для остатка v\ (q) - уравнение
vl(q) = 4v2(?) + z2Fl(q). (5.17)
В уравнении (5.17) e2F2 соответствует просто поправкам, возникающим из
(5.13) от членов более высоких порядков (после того, как постоянная и
вклады, пропорциональные q2, вычтены). Допустим, что функция F2 известна;
тогда решение для v2(q) можно записать в виде ряда
M?) = e2? 22nF2(2-nq). (5.18)
rt=0
Это выражение является решением только в том случае, если ряд (5.18)
сходится. Известно, что функция F*2{q)^qi [см. (5.12)]. Следовательно, n-
й член в (5.18) имеет величину порядка
е222ге-^=2-2пвУ (5.19)
и разложение сходится. Поэтому, как и предполагалось,
v*2~0(e?).
Какая связь между этим рассуждением и представлением о несущественных
