Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вильсон К. -> "Ренормализованная группа и epsilon-разложение" -> 22

Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.

Вильсон К. , Когут Дж. Ренормализованная группа и epsilon-разложение — Стройиздат, 1975. — 270 c.
Скачать (прямая ссылка): renormalizovannayagruppa1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 90 >> Следующая

дальнейший ход рассуждений. -Прим. перев.
58
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
то ее появление можно игнорировать. Таким образом, эффективное
взаимодействие, возникающее благодаря исключению спиновых компонент с
большим импульсом q, определяется просто выражением
Г
-\W + r К°г-<г-
я
Второй шаг при построении преобразования, отвечающего Идее
ренормализационной группы, сводится к некоторым изменениям масштаба,
причем делается это для того, чтобы эффективное взаимодействие настолько,
насколько это возможно, походило на исходное взаимодействие. Будет
введено два изменения масштаба. Во-первых, масштабное преобразование
импульса:
q' = 2q;
оно производится так, чтобы новый импульс q' имел такую же область
изменения 0 < |^'| < 1, как и импульс q в исходном взаимодействии. Во-
вторых, масштабное преобразование собственно спиновых переменных:
<^а=Ео',==&|^. (3.31)
Масштабный множитель ? будет определен ниже. Используя новые спиновые
переменные сг^', запишем эффективный гамильтониан в виде
Ж = - Y №~d) S (-Х + г) (3.32)
Я'
Выберем теперь ? так, чтобы член q'2 в (3.32) имел такой же коэффициент,
как и член q2 в исходном взаимодействии; это означает, что
5 - 24^2 (3 33)
и;
Ж - - ~ 5 (q'2 + г') o'q,o'_q,, (3.34)
я'
где
г7 ss= 4г. (3.35)
69
ГЛАВА 3
Преобразование, которое переводит
* = - у ^ (Я2 + г) aqa_q (3.36)
я
в Ж, является примером преобразования ренормализационной группы.
Два масштабных преобразования, введенные выше, аналогичны масштабным
преобразованиям, которые встречаются в построении Каданова.
Действительно, когда обсуждается проблема взаимодействия спиновых блоков,
в качестве масштаба вместо постоянной исходной решетки используется
размер блоков. Это аналогично введенному здесь масштабному преобразованию
импульса. Во-вторых, величина спинов у блоков путем изменения масштаба
была переопределена Када-новым таким образом, чтобы она равнялась ± 1,
как и величина исходных спинов; это аналогично изменению масштаба
спиновых переменных ач, хотя теперь задача состоит в том, чтобы привести
некоторый вполне определенный член во взаимодействии Ж к такому же виду,
какой он имел в исходном взаимодействии.
Для каких же целей полезен гамильтониан Ж? Его можнр использовать,
например, для вычисления корреляционной функции Г, при условии |^|-< '/г-
Корреляционная функция, естественным образом определенная из Ж, есть
корреляционная функция, в которой вместо а фигурируют переменные а', а
именно:
6 (Я[ + q'2) Г'' = J ехр {Ж} -р-. (3.37)
а' 1 2
Масштабные соотношения между а и сг7 приводят к следующей связи между
корреляционными функциями Г,, и Гг91:
6(9, + 92) Г* = ?2Гk 6 (29i + 29s), (3.38)
а так как
6(2q) - 2~db (9),
то
Г9 = ?22-<*Г 20 = 4Г 2^. (3.39)
Таким образом, если вычислить Г^, зная Ж, то из соотношения подобия
(3.39) можно получить Г9/г.
Обратимся теперь к более подробному рассмотрению корреляционной длины.
Используя модифицированное определено
тривиальный пример ренормализационной группы
ние и ?, корреляционную длину, вычисленную из Ж', можно записать в виде
(3.40)
Из-за изменения масштаба шкалы импульса при определении Ж величина I'
будет отличаться от ?. Так как импульсы при преобразовании от Ж к Ж
удваиваются, длины будут уменьшаться в 2 раза, т. е. корреляционная длина
?' должна равняться \/2. Это действительно так, поскольку
Здесь мы имеем явный пример связи между величиной вычисленной из
эффективного взаимодействия Ж, и величиной вычисленной из исходного
взаимодействия. Имеется три связанных между собой соотношения.
Первое соотношение между и
Это соотношение является следствием явного изменения масштаба в
импульсном пространстве, которое вводится в преобразование
ренормализационной группы. Оно будет справедливо для всех моделей до тех
пор, пока мы придерживаемся программы интегрирования по компонентам ад в
области |?|> '/2, а затем изменяем масштаб оставшихся импульсов.
Второе соотношение между г и г':
Это - связь между постоянными, появляющимися в выражениях для Ж' и Ж. Оно
характерно только для гауссовой модели. Заметим тем не меиее, что г'
является аналитической функцией г даже в критической точке. Такое
свойство аналитичности будет иметь место во всех последующих примерах.
Третье соотношение установлено между ? и г:
Поскольку Ж' имеет тот же вид, что и Ж, новая корреляционная длина имеет
ту же зависимость от г', что и | от г:
(3.41)
61
ГЛАВА 3
Эти соотношения также характерны только для гауссовой модели. В других
случаях всегда будет справедливо следующее: если I = Х(г), то ?' = X
(г'), причем функция X одна и та же.
Критические особенности I можно найти методом, изложенным в гл. 2.
Подставим г вместо переменной К, используемой в гл. 2. Функция f(K) (см.
гл. 2) теперь известна явно: г' = f (г) = 4г. Критической величиной г
является гс = 0; она удовлетворяет уравнению /(гс) = гс. Параметр Я,
определенный в гл. 2, равен df/dr = 4. Таким образом, из уравнения (2.29)
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 90 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed