Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
Импульсы | р | и | pt | изменяются в области от '/г Д° 1- Ана логично для
импульсов q, я 1, Яг и Я3 имеем
До сих пор обсуждение было общим. Сейчас мы введем некоторые приближения,
чтобы упростить эффективный гамильтониан и привести его к виду (4.2).
Такие приближения годятся для размерности d ж 4, однако это станет
очевидным
СТ0,</ ?°2qr-
ч
у < ~2 Я -р -р < 1, у < у^| + у^ + у9з < 1 и т. д.
(4.23)
70
1 МОДЕЛЬ S*
Немного позже. Вначале вычислим и'г (q) только с точностью до и. Тогда
можно записать
"2 (q) = ф + г' (4.24)
при условии, что, как и в предыдущей главе,
J=*21+w. (4.25)
Далее мы упростим выражения (4.20), (4.21) с помощью следующих
приближений:
f 1 1 f , 1 1
J p2+r 1 +r J 4 1 + r '
где
p
и
f 1 1
: = 4^1, причем 1<|р|<1
J P2+r + Ч2Я2 -P)2 +r V.<IpI<i
1 f . 1 1
"^(1+r)2 ) 1 4 C (1 + r )2 "
'/* < 1 /"1 < 1
Если теперь мы обозначим "4(^1, ..., q4) сокращенно через и', то (4.21)
принимает вид
г' = 41 г -f- Зс -j-77jr I + Члены более высокого порядка по и,
и2 (4.26)
U -24 -9с + Члены более высокого порядка по и.
Наконец, i4 и члены более высокого порядка в этой главе приниматься во
внимание не будут. Обсуждению справедливости этих приближений посвящена
следующая глава. Уравнения (4.26) будут теперь рассматриваться как
пример, иллюстрирующий работу ренормализационной группы. (Эти уравнения
изучались в работе [43].)
§ 1. УПРОЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ
ГРУППЕ
Первое, что следует уяснить, это то, что уравнения (4.26) можно
использовать для многократных итераций. Иначе говоря, если параметры
исходного взаимодействия равны и = иа
71
ГЛАВА 4
и г = Го, то из уравнений (4.26) можно определить последовательность
параметров взаимодействия щ и гг, соответствующих последовательности
эффективных взаимодействий Mi. Эффективное взаимодействие Mi является
результатом интегрирования по спиновым компонентам оч с 2_г < |^| < 1 в
исходном взаимодействии. Таким образом, эффективное взаимодействие Mi
описывает поведение спиновых компонент ад с q в области 0 < |q| < 2~1.
Уравнения (4.26), если пренебречь высшими порядками по щ, гласят:
Рассмотрим теперь неподвижные точки соотношений (4.26) или (4.27). Для
неподвижной точки (г = г*, и = и*) имеем г = г' и и = и'; это означает,
что | = Однако выше мы показали, что = '/г?, следовательно, в неподвижной
точке корреляционная длина должна быть бесконечна, т. е. мы должны
находиться в критической точке теории. (Другое решение - это ?' = ? = 0,
однако такую возможность можно исключить с помощью иных соображений.) Из
(4.26) и (4.27) ясно, что, как и в гауссовой модели, здесь имеется
тривиальная неподвижная точка г* = и* = 0. Ниже мы увидим, однако, что в
модели, которая рассматривается теперь, взаимодействие Mi может породить
более интересные возможности.
Представим себе вначале, что размерность системы й больше 4. Тогда при
проведении многократных итераций (4.27) величина щ стремится к нулю, и
если итерационный процесс сходится к неподвижной точке, то это будет
тривиальная точка г* = и* = 0. Поэтому, чтобы получить более интересные
результаты, предположим, что d < 4, а параметр и0 выбран достаточно
малым. При проведении итераций щ возрастает с номером I до тех пор, пока
в соотношении (4.27) для ";+1 второй член не станет сравним с величиной
первого
§ 2. е-РАЗЛОЖЕНИЕ И НЕТРИВИАЛЬНАЯ НЕПОДВИЖНАЯ ТОЧКА
72
МОДЕЛЬ S'
члена1). В этом случае возникает новая, нетривиальная неподвижная точка.
Параметры этой неподвижной точки (и*, г*) равны
(4.28)2)
г* ~ - 4с"* (предполагается, что г* <С 1).
Если d " 4, обе величины и* и г* малы, и наши приближения являются
разумными (см. следующую главу). Обозначим отклонение от размерности d =
4 через в:
8 = 4 - d. (4.29)
Тогда положение неподвижной точки для малых е определяется формулами:
"*"-~8 In 2, г* г"-^8 In 2. (4.30)
Предположим, что итерационный процесс (4.27) начинается с"о> и*. Тогда
величины последующих щ будут при стремлении к и* уменьшаться (фиг. 4.4,
а). Если же и0 < и*, то величины щ при стремлении к и* увеличиваются
(фиг. 4.4,6). Следовательно, величина и, которая возникает в эффективном
гамильтониане после большого числа итерационных шагов, близка к и*,
причем неважно, каким было выбрано и0. Это означает, что неподвижная
точка и* определяет интенсивность взаимодействия между длинноволновыми
флуктуациями в системе независимо от величины затравочной постоянной щ.
') Подробное вычисление проведено в гл. 8 (см. также работы [36 43]). -
Прим. перев.
2) В действительности
1 . /1 "Г . I (24-d-l) .. . ...
/•* = h Л/ 4си , а и* =----------------1---т-5----(1 +П*.
2 V 4 9с 2*~ё
Таким образом, для того чтобы формулы (4.28) были справедливы, необходимо
не только предположить, что г* •< 1; но и что |4 - d\ <?С 1, --
Прим. перер,
73
Фнг. 4.4. Итерационная формула для ип.
Если ы# > и*, итерационная процедура приводит к тому, что r.j сходится к
и* сверху (а). Если ид < и*, то сходится к и' снизу (б).
