Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
МОДЕЛЬ S*
§ 3. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОКАЗАТЕЛЯ v
Теперь, используя уравнения (4.27), обсудим вычисление критического
показателя v. По сравнению с предыдущими примерами это вычисление до
некоторой степени более сложное, и поэтому будет проделано детально (см.
также [36]). Прежде всего, полезно сравнить решения рекуррентной формулы
(4.27) с решениями соответствующей рекуррентной формулы в случае
гауссовой модели: Гг+i - Ari. В последнем случае имеется два типа
решений, Если г0 = 0, то гг = 0 для всех [, т. е. это решение есть
неподвижная точка, и соответствует оно случаю Т = Тс. Если го Ф 0, то гг
= 4гГо и гг -> с" при I-* оо. Это соответствует случаю Т ф Тс. Для Т,
близких к Тс, величина г0 линейна по Т - Тс.
Одно из осложнений негауссового случая состоит в том, что можно
достигнуть критической температуры Т = Тс, даже если г0 и "о не совпадают
с параметрами неподвижной точки. Дело в том, что для этого необходимо
фиксировать всего один параметр Т, в то время, как для того, чтобы
попасть в неподвижную точку, мы должны фиксировать оба параметра го = г*,
и0 = и*. Поэтому можно предположить, что для любой величины щ найдется
некоторое критическое значение г0с параметра го (гос будет зависеть от
и0), которое соответствует Т = Тс. Смысл неподвижной точки при Т = Тс
сводится, таким образом, к существованию пределов rt~* г* и ";-*•"* при /
-"• оо. (Если Т ф Те, п и щ будут иметь другое поведение в пределе
больших I.)
Предположим, что рассматривается некоторое начальное (затравочное)
взаимодействие, единственным параметром которого является Т. Тогда г0 =
го(Т') и щ = Uq(T) будут некоторыми определенными аналитическими
функциями Т [см., например, (3.29)]. Запишем
Го( Тс) -= Г Ос > "о( Нос-
Чтобы вычислить показатель v, мы хотим теперь исследовать модель для
температур Т, близких к Тс. Первый шаг состоит в исследовании
последовательности {г*(Г), щ(Т)}, которая начинается с г0(Г), "о(Г) и
которую порождает итерирование v(4.27). Примеры этих последовательностей
приведены на фиг. 4.5. Мы ожидаем, что гг(Тс)-*г*, щ{Тс)-*и* при /-> е"
(кривая А на фиг. 4.5). Поскольку рекуррентные соотноше-
75
ГЛАВА 4
ния (4.27) являются функциями аналитическими, мы также ожидаем, что для
каждого фиксированного I и достаточно
А
Фиг. 4.5. Последовательности точек для итерационной процедуры при трех
различных выборах начальных параметров. Последовательность А(Т=ТС)
сходится к неподвижной точке (и*, г*). Последовательности В и С
начинаются с такого выбора параметров и н т, которые немного смещены от
их критического значения. Эти последовательности, в конце концов,
виачительно отклоняются от неподвижной точки, однако стремятся к
некоторой одной н той же
кривой D.
малых Т - Гс величину гг(Г) [и аналогично щ(Т)] можно представить в виде
О (Г) - о (Г.) + г; (7-,) (У - Г.).
Если I достаточно велико, ri(Tc)" г*, так что гг(Г) тоже близко кг*.
Это наводит на мысль попытаться исследовать рекуррентные формулы (4.27)
для гг г*, щ " и*. В таком случае фор* мулы (4.27) можно линеаризовать.
Результат линеаризации
76
МОДЕЛЬ' S'
в матричной форме имеет вид
(4.31)
где
12си* 12с
(1+/-*)2 1 +/•'
(4.32)
2В18 • си*1 Г1 18си* 1
(,+г.)3 2 |_1 (i+r*)2J
В дальнейшем будет полезно знать результат многократного итерирования
линеаризованного рекуррентного соотношения. Формально результат выглядит
следующим образом:
Преимущество изучения Мп с большими п вместо М заключается в том, что Мп
почти полностью определяется наибольшим собственным значением М, а
собственные значения матрицы М легко вычислить. В пределе и*-* 0
собственные числа М равны 4 и 1; следовательно, собственные значения Мп
есть 4" и 1; ясно, что 4" доминирует.
Чтобы пренебречь собственным значением 1, нам необходимо знать явный вид
Мп. Его легко получить, если только матрица М приведена к диагональному
виду. Диагонализа-ция осложняется, так как М несимметричная матрица;
результат можно записать следующим образом:
где Wu и vij - собственные векторы (с собственными значениями Яг) матриц
М и Мт соответственно. Более точно
а условие ортонормированности записывается в виде
Заметим, что не каждая асимметричная матрица имеет полный набор таких
собственых векторов, однако для матрицы М
(4.33)
ми = Я iWuVn + Я25У г202/,
(4.34)
? Muwik = Яkwik, ? vkiMi, = lkvki, (4.35)
11 vkjwn - b/ti-
(4.36)
77
ГЛАВА 4
Таблица 4.1
Собственные значения и собственные векторы матрицы М (с точностью до е)
Ai = 4 -е In 2 Аг = 1 - е In 2
их можно построить явно (см. табл. 4.1). С помощью да, v и А матрицу Мп
можно представить в виде
(Мп)ц - X hkWikVkj. (4.37)
k
Если Ai - собственное значение, близкое к 4 (для малых и*), в то время
как Аг - собственное значение, близкое к 1, то для больших п получаем
г[+п - г'ж A>u [vn (г, - г') + о12 (щ - и)],
* п г г *\ / *\"i (4.38)
Ul+n - и "А,да21 [vn (г, - г ) + о12 (щ - и )].
В чем смысл и значение этого результата? Пусть значение I велико, но
