Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
фиксированно, а Т достаточно близко к Тс настолько, что разности гг - г*
и щ - и* малы и использование линеаризованного рекуррентного уравнения
вполне обосновано. Вначале пусть Т = Те. Тогда, как было отмечено выше,
при / -> с"
и Ui -> и*.
Это согласуется с уравнениями (4.38), если только
0ц [П (Тс) - г*] + о12 [щ (Тс) - и*] = 0. (4.39)
Более того, величина Аг должна быть меньше единицы, так как в противном
случае член Аг в Мп также возрастал бы с ростом п. Из табл. 4.1 видно,
что Аг (для е > 0) действительно меньше единицы.
Рассмотрим теперь случай Т ж Тс. При фиксированном I обе величины rt(T)-
гг(Гс) и щ(Т)-"/(Тс) будут пропор-
78
МОДЕЛЬ' S4
циональны Т - Тс, так что
О.. [г, {Т) - Г*\ + аа [щ (Т) - "*] =d(T - Тс), (4.40) где Ci -
постоянная. Отсюда с помощью (4.38) находим ri+n-re = ^wnct(T-Te),
Ul+n~U'= %1W2iCl{T ~Тс)-
Эти уравнения справедливы при условии, что разности гг+п - г* и щ+п - и*
малы; в противном случае мы не смогли бы использовать для вычисления
гг+", щ+п линеаризованную рекуррентную формулу.
Смысл соотношений (4.41) проиллюстрирован графически на фиг. 4.5. Кривые
В и С на фиг. 4.5 изображают две возможные траектории (гь щ). Для больших
I они асимптотически приближаются к некоторой кривой D, причем уравнения
(4.41) соответствуют результату замены асимптотических частей В и С на D.
Единственное различие, оставшееся между В и С, заключается в расположении
данной точки (rt, щ) на кривой Д1); это определяется множителем ci(T-Te).
Теперь можно вычислить критический показатель v [36]. Делается это
следующим образом. Корреляционная длина | определена для любых значений
параметров взаимодействия г и и; запишем
1 = Х(г,и). (4.42)
В частности, она определена для г = г0(Т) и и = и0(Т) и соответствует,
скажем, функции
l = to(T). (4.43)
Теперь, если гг+п и и1+п являются решениями рекуррентной формулы, правило
подобия (скейлинг) для эффективных взаимодействий приводит к соотношению:
X {г1+п, и1+п) = 2~'~пХ (г0, "о). (4.44)
Однако из уравнения (4.41) нетрудно заметить следующее: rl+n+t{T) -г* для
Г - Тс = х/Х1 имеет такую же величину, что и rt+n{T) - г* для Т-Тс = т.
То же самое справедливо и для щ+п+1(Т). Таким образом,
X (гг+п+1> Щ+n+l) 1т=Тс+тД1 == ^ (0+n> м1+п) 1г=Гс+т' (^-^5)
¦ ) Подробный анализ дан ниже в гл. 8, 12, 13. - Прим. перев.
79
ГЛАВА 4
это означает
2_ (^+ л)-1
!о(П + -?-) = 2-(/+п) |0(ГС + т). (4.46)
Теперь если предположить, что
Ы^-ЬтИт-*, тогда для произвольного малого т имеем
(4.47)
(4.48)
Это уравнение непротиворечиво только в том случае, если
Следует сделать несколько замечаний по поводу этого результата. В
выражении для критического показателя v не появляются детали (а именно,
множители In 2), связанные с искусственными особенностями построения
итерационной схемы. Это очень существенно, так как величина v должна
определяться свойствами физической системы, а не методом вычисления!
Кроме того, для ненулевых е показатель v отличается от соответствующей
величины в гауссовой модели (среднее поле). Следовательно, модель,
рассмотренная в этой главе, является примером, в котором при определении
критического поведения физической системы некоторую определенную роль
играет взаимодействие. Заметим также, что величина v, определяемая
(4.50), выражается через наибольшее собственное значение Xi матрицы М.
Это очень похоже на результаты гл. 2. В гл. 2 матрица М с размерами 2X2
была заменена матрицей с размерами 1 X 1 с единственным собственным
значением X [см. (2.26)]. Аналогично уравнение
(2.29) для v в гл. 2 получается из (4.50) подстановкой X вместо Аь
Заметим, наконец, что v не зависит от начальной (затравочной) постоянной
"0. Это - пример реализации гипотезы универсальности, которая обсуждалась
ц гл. I,
(4.49)
т. е.
In X, '
С точностью до е это дает для v:
(4.50)
Глава 5
МОДЕЛЬ s* (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Как было показано в гл. 4, для того чтобы быстро получить результаты,
уравнения ренормализационной группы пришлось в какой-то степени
"испортить". В настоящей главе уравнения ренормализационной группы будут
рассмотрены более аккуратно. На основании полученных результатов мы
сможем сделать вывод, что простые уравнения, выведенные в гл. 4, верны с
точностью до е = (4 - й). Обсуждение, будет. состоять из двух частей.
Сначала мы рассмотрим всевозможные мыслимые обобщения полученных выше
простых уравнений и выясним, какие из этих обобщений могли бы вызвать
затруднения. Затем исследуем полные уравнения ренормализационной группы.
§ 1. НЕСУЩЕСТВЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И е-РАЗЛОЖЕНИЕ
В гл. 4 были получены рекуррентные формулы:
(51>
где е = 4 - d, ad - размерность системы. Эти уравнения обладают
неподвижной точкой:
"* = -^-е1п2, г* ----|-в1п2 (с точностью до е). (5.2)
Предположим теперь, что точные уравнения содержат еще и некоторую другую
постоянную взаимодействия до. Тогда будет иметь место еще одно уравнение
для до'. Положим, что это уравнение [по крайней мере вблизи неподвижной
