Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
гамильтониан Ж' к виду
¦ (6.1а)
X X
где &'(ж)- эффективное спиновое поле, полученное фурье-пре-образованием
поля последнее является таким же, как и в предыдущих главах:
' *•-!
<V - & Oq'l2;
Ж' определяется интегрированием по компонентам ач
с 1 /2 С I "71С 1; постоянные щ и с2 - те же, что и в
гамиль-
тониане Ж. Единственная разница между приближенной рекуррентной формулой,
которая будет выведена здесь, и аналогичной формулой, полученной в гл. 4
и 6, заключается в использовании при выводе других приближений.
Чтобы проиллюстрировать те приближения, которые будут сделаны, рассмотрим
диаграмму на фиг. 6.1, дающую вклад в и'. Все импульсы внешних линий мы
без особых оснований будем полагать равными нулю, тем самым пренебрежем
зависимостью от импульса. Такая идея не является со-
93
ГЛАВА 6
вершенно абсурдной, так как величина импульсов, соответствующих внешним
линиям |^|< xk, меньше величины импульсов, соответствующих внутренним
линиям (|<71 > V2). Следовательно, сделанное приближение во всяком случае
грубо соответствует реальному соотношению между внеш-
Фиг. 6.1. Диаграмма, дающая вклад в и', который входит в приближенную
рекуррентную формулу.
ними и внутренними импульсами. Диаграмма на фиг. 6.1, таким образом, дает
следующий вклад в и':
36\\u\cycS? (2 I 2у] • 24-" • -Ц-. (6.3)
Lp \Р + 2rctc2) J -ехе\
Множители c,c4 появляются в выражении (6.3) потому, что они входят в
гамильтониан (6.1): в четвертом порядке по s(*) гамильтониан Ж имеет вид
Ж = - у ^ [Vs (дс)]2 - rcxc\ ^ s2 (х) - исхс\ ^ s4 (дс) (6.4)
X XX
Множитель 24_й = ?42~3d обязан своим появлением в (6.3) определению а'
(см. гл. 4) и значению ? [см. (4.25)]; наконец,
последний множитель (- с,с|)-1 появляется в (6.3) потому, что постоянная
взаимодействия при члене s/4(*) в гамильтониане Ж' равна - и!схс\ и,
следовательно, чтобы получить и', необходимо разделить на - схс\. При
выводе приближенной рекуррентной формулы можно упростить далее вычисление
интегралов типа (6.3), если воспользоваться двумя следующими правилами:
1. Заменить р2 в подынтегральном выражении его средним значением р2.
2. Заменить интеграл ^ (V2 < I р I < 1) постоянной Р. Ясно,
р
что такие упрощения не являются необходимыми при обсуждении относительно
простых диаграмм, таких, как на фиг. 6.1.
94
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
Однако пренебрежение точной зависимостью от импульсов во внутренних
линиях позволит вычислять вклады от диаграмм сколь угодно большого
порядка.
При вычислениях мы будем пользоваться еще одним правилом.
Фиг. 6.2. Диаграмма, вклад которой не появляется в приближенной
рекуррентной формуле.
Она опускается в соответствии с правилом 3.
Внутренняя
¦X-
Внешняя
Фиг. 6.3. Диаграмма, исключаемая нз рассмотрения правилом 3.
Фиг. 6.4. Диаграмма, запрещаемая правилом 3, однако учет ее желателен.
Фиг. 6.5. Диаграмма, вклад которой не учитывается в приближенной
рекуррентной формуле.
Область изменения импульса во внутренних линиях обозначена У* -1#
Фиг. 6.6. Диаграмма, вклад которой учитывается в приближенной
рекуррентной формуле.
1/4 "1/Z
3. В каждую вершину должно входить только четное число внутренних
линий. Главная цель этого правила - исключить из рассмотрения диаграммы,
которые имеют вид, показанный на •фиг. 6.2. Такие диаграммы не должны
появляться в физической теории, так как закон сохранения импульса для них
не выполняется. Однако правила 1 и 2 будут приводить к их появлению (см.
ниже). Правило 3 исключает из рассмотрения также и такие диаграммы, как
диаграмма, изображенная на фиг. 6.3. В пределе нулевых внешних импульсов
появление
95
ГЛАВА В
этих диаграмм запрещено законом сохранения импульса, что, следовательно,
согласуется с правилом 3. К сожалению, это правило запрещает также
появление таких диаграмм, как та, что изображена на фиг. 6.4, хотя в
реальной теории они должны присутствовать. В частности, в этом подходе
очень ограничен класс диаграмм, которые могли бы давать вклад в г'.
Однако нельзя считать, что все эффекты от диаграмм типа той, что
изображена на фиг. 6.4, потеряны. Например, после первой итерации вклад в
и! вносит диаграмма на фиг. 6.1. При следующей итерации две внешние линии
могли бы спариваться и тогда образовалась бы диаграмма, топологически
эквивалентная той, что изображена на фиг. 6.4. Другими словами, в рамках
этих правил диаграмма, представленная на фиг. 6.5, должна быть опущена, в
то время как диаграмма на фиг. 6.6 учтена.
Сейчас мы просто напишем приближенную рекуррентную формулу и покажем с
помощью разложения ее по теории возмущений, что она согласуется с
правилами I-3, приведенными выше. Приближенная рекуррентная формула имеет
вид
оо
^ ехр [- </2 - у Q (2l~d/2x + y) - jQ (2l~d/2x - г/)] dy
= ------------=----------------------------------------• (6-5)
- оо
Чтобы согласовать эту формулу с правилами, используемыми при вычислении
упрощенных диаграмм, необходимо представить ее в виде диаграммного
разложения. Это означает, во-первых, что экспоненту в числителе (6.5)
