Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
" - -j ^ fVs W]2 - с, ^ Q0 fos (*)]; (7-1)
X X
допустимые значения импульса в этой физической системе лежат в интервале:
0<|<7|< 1. Рекуррентная формула порождает новый гамильтониан, описывающий
то же самое физическое явление для системы, у которой импульс обрезания в
2 раза меньше. В частности, гамильтониан
- \ S IVs (*)]2 " °\ \ Qi fos (*)] (7.2)
X X
при условии, ЧТО
Qi+i (") *ь,["ЭТ <7-3>
где
+00
Ii(z)= J ехр[- у2 - -jQiiy + z) - jQl(- y + z)^dy, (7.4) - 00
приводит к тому же физическому явлению, что и (7.1), но уже для системы с
импульсом обрезания |<?|< 24 Эти формулы
103
ГЛАВА ?
были исследованы численно для некоторых частных случаев выбора Qo и
размерности физической системы dx). Рассмотрим, например,
Qo = г0у2 + "о У* (7.5)
и размерность d в интервале от 2 до 4. Как указывалось в конце гл. 6,
если задано некоторое значение параметра и0, то г0 подбирается так, чтобы
определить критическую величину, т. е. такое г0с, для которого имеет
место сходимость
Qt{y)-*Q*(y) при /-> оо. (7.6)
Для d = 3 и и0 = 0,5 функция Q* (у), соответствующая неподвижной
точке, показана на фиг. 7.1. Для размерностей,
Фиг. 7.1. Функции, соответствующие неподвижным точкам, для размерностей 3
и 3,9.
близких к d = 4, скажем, 3,9 или 3,8 (и меньших значений и0), кривая
Q*(y), как показано на той же фигуре, является более плоской. Напомним
(это следует из наших предыдущих рассуждений), что для модели с
размерностью 4 функция Q*, соответствующая неподвижной точке, тривиальна
(т. е. Q* = 0), поэтому поведение кривых на фиг. 7.1, когда d стремится к
4, не является неожиданностью 2). Когда d в точ' ности равно 4 и и0 <
0,35, находим, что щ ~ 1// для больших /. Следовательно, поведение типа
свободного поля, как
') См., например, [36, 48]. -Поим. ред.
2) В действительности случай d - 4 обладает рядом особенностей,
отличающих его от случая просто свободного поля и0 = 0. Например,
итерационная процедура для d = 4 в отличие от d > 4 является неустойчивой
[36, 48]. Это в свою очередь возможно соответствует тому, что при d - 4
асимптотики корреляционных функций содержат логарифмические поправки к
выражениям для свободного поля, хотя критические индексы имеют
классическую величину (см. [57, 136, 144, 145]). - Прим. перев.
104
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
это ожидалось и из других формулировок ренормализационной группы [57]
(см. гл. 13), при проведении итераций (7.6) достигается очень медленно.
На практике это означает, что когда d близко к 4, необходимо провести
довольно много итераций соотношений (7.3) и (7.4), чтобы надежно
определить вид функции, соответствующей неподвижной точке.
Когда размерность d изменяется от 3 к 2, поведение функции Q* становится
гораздо более сложным. Для d = 2 функция Q* ведет себя приблизительно
так, как показано на
Фиг. 72. Функция, соответствующая неподвижной точке для размерности 2.
Кривая получена с помощью численного анализа несколько модифицированной
формы рекуррентной формулы.
фиг. 7.2. [Этот график получен из несколько модифицированного
рекуррентного соотношения (7.3): множитель 2I_d/2 был заменен на
2I_d/2~1/s.] Легко видеть, что случай двух измерений является весьма
специфическим: предположим, что вычисляется Qi+i (у) для больших у,
тогда, если d - 2, функция Qi+i(y) определяется функцией h(у), т. е.
аргументы обеих функций возрастают. Поведение h{y) при больших у в свою
очередь определяется функцией Qi, когда ее аргумент велик и сравним по
величине с у. Следовательно, асимптотическое поведение начальной функции
Q0 благодаря итерационной формуле (7.3) будет распространяться на многие
другие итерации Qi. Это асимптотическое поведение противоречит
существованию неподвижной точки, не зависящей от Qo, т. е. ставит
возможность реализации неподвижной точки под вопрос. В противоположность
этому для d > 2 множитель 2I-d/2 означает, что Qi+i(y) определяется
функцией Qi(y') при
J05
ГЛАВА 7
у' 2l~dl2y, что гораздо меньше у, когда у велико. В этом случае
трудностей не возникает.
Раз найдена критическая функция Q*(y), дальнейший численный анализ
рекуррентной формулы дает нам величину критического показателя v. Для
этой цели итерационный процесс начинают со значения г0 " г0с, т. е.
не'совпадающего
Фиг. 7.3. Зависимость критического показателя v от размерности физической
системы.
Кружочки соответствуют результатам, полученным из численного анализа
рекуррентной рормулы. Крестик при d-2 отвечает величине v, полученной из
точного решения Онсл ера, а крестик при -нанлучшему значению v. которое
дают имеющиеся в на-
стоящее время высокотемпературные разложения.
точно с гое- Затем наблюдают, как Qi(y) отклоняется от Q*. Ожидают, что
для достаточно больших I функция Qi имеет вид [по аналогии с уравнением
(4.41) из гл. 4]:
Qz-^Q'-Kro-rfcU'/rQ/), (7.7)
где R*(y)-функция, не зависящая от I и г0. Для справедливости (7.7) /
должно быть достаточно велико, настолько, чтобы начальные переходные
