Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
настоящего же изложения достаточно знать, что это преобразование
существует. В предыдущих главах взаимодействие с параметром обрезания А =
2~1 было обозначено Жг, здесь удобно записать параметр обрезания в виде А
= е~*, а эффективное взаимодействие с параметром обрезания А обозначить
Жь Далее, в предыдущих главах взаимодействие Ж^\ с помощью рекуррентной
формулы было выражено через Жи Дифференциальный аналог рекуррентной
формулы можно записать следующим образом:
Явный вид инфинитезимального преобразования U дан в гл. 11. В свою
очередь взаимодействие Жг является функционалом от переменной сг', где
а ?(/, Т) - ренормализационный параметр; все это является прямым
обобщением схемы, соответствующей дискретной рекуррентной формуле.
Главной особенностью уравнения (7.13) является то, что функция U [ЖД явно
от t не зависит, т. е. она не равна Ь[Жи t\ Это есть обобщение того
факта, что рекуррентная формула для cf6i+\ не зависит от / *).
Как и в гл. 3, можно, используя вместо Жй гамильтониан Ж и для достаточно
малых <7,- вычислить величину Г(?1 дп, Т). Результат выглядит следующим
образом:
(7.13)
= T)a'q" q' = e*q, 0<|'?'|<1, (7.14)
?(?" ...,qn, T) = z7X [E(f, ЛГХ
(7.15)
в предположении, что для всех i _____________________ 0 < | е*д]
I < 1,
(7.16)
J) См. гл. 4, уравнение (4.27). - Прим. ред.
109
ГЛАВА 7
a Zt - статистическая сумма, равная {ехр(Ж^). [Следует предупредить
читателя, что когда Жг определяется с помощью точной формулы из гл. 11,
соотношение (7.15) по техническим причинам заменяется некоторой более
сложной формулой. В то же время формула (7.11) не изменяется, и
аргументы, приведенные здесь, в общем случае, по-прежнему остаются
справедливыми.]
Чтобы продолжить исследование формулы (7.11), необходимо знать, как ?(f,
Т) изменяется с обрезанием. Напомним, что функция ?(f, Т) будет
определена, если потребовать, чтобы член в гамильтониане Жи
пропорциональный q2 и содержащийся в u2(q, t), имел коэффициент, равный
единице. В той итерационной форме ренормализационной группы, которая
рассматривается сейчас, одна итерация определяет отношение ?г+1 /&, где
?* - ренормализационный множитель, связывающий переменную oq и переменную
a't , возникающую
после I итераций. В дифференциальной форме вместо отношения ?i+i/?z
находят отношение t,(tdt)lt(t), т-е-(1 -\-%~l{t)[d1Jdf]df). Последнее
определяется исключительно гамильтонианом Жг\ если в u2(q, t) член,
пропорциональный If, имеет коэффициент 1, то величина t^'dZJdt должна
быть выбрана так, чтобы соответствующий член в u2(q, t + dt) тоже имел
коэффициент 1. Поэтому функция ?~xdljdt будет удовлетворять некоторому
уравнению:
-Щ-§-vm. (7.17)
где К - неопределенный пока функционал гамильтониана Жи Мы хотим
рассмотреть физическую систему только вблизи критической точки. Из опыта
обращения с рекуррентной формулой в предыдущих главах следует уже
довольно ясное представление о поведении, к которому будет приводить
уравнение (7.13). В частности, предположим, что можно было бы построить
зависимость Жг от t (в действительности зависимость некоторого члена из
Жи например ut); пример такой зависимости изображен на фиг. 7.4. Для
малых t (т. е. относительно больших параметров обрезания) Жt проходит
через некоторую переходную область до тех пор, пока не достигает своего
критического значения1). Допустим, что система не находится в критической
точке; следовательно, в конечном
') Подробнее см. гл. 12 и 13. - Прим. перев.
110
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
счете Ж% отклонится от своей критической величины. В этом случае 36t
может либо стремиться к нулю, либо расходиться, как это показано на фиг.
7.4. Начало этой области значений t определяется, скажем, t = t0.
Множество t справа от t0 мы называем "областью корреляционной длины".
Представим теперь, что параметры в Жо изменились так, что начальное
условие для дифференциального уравнения (7.13) сделалось
Фиг. 7.4. Зависимость 361 от t.
Параметр t связан с параметром обрезания в гамильтониане 2/6t
соотношением
Л<=в~*-
более близким к критическому. Тогда неустойчивость в (7.13) не возникает
вплоть до значений t, больших t0. Тем не менее после переходной области
память о начальном гамильтониане Жо теряется, поэтому правый конец новой
кривой будет совпадать по форме со старой, однако будет сдвинут вправо.
Чтобы увидеть это формально из дифференциального уравнения, предположим,
что имеется решение ЖЦ, Г), зависящее от температуры Т. Рассмотрим
область t чуть меньше to, где Ж^, Т) отклоняется от неподвижной точки Ж*,
но пока не очень сильно. Ожидают, что ЖЦ, Т) в этой области значений
параметра t имеет вид
3fg{t, Т) = Ж* + (Т- Тс)еа*Жф (7.18)
где а - наибольшее собственное значение, соответствующее линеаризованным
уравнениям ренормализационной группы, а Жа - некоторое фиксированное
взаимодействие. Собственное значение К в дискретном случае [см.,
например, уравнение (7.7)] равно 2°. Важной особенностью уравнения (7.18)
