Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
Множитель ?2 равен 22+d, так как (согласно правилу 3) диаграммы не могут
давать вклады в u2(q) в виде членов, пропорциональных q2. Учет всех
множителей, соответствующих заданной диаграмме, дает
/ t \Я- 1 JT- "2wt-t-2Z гЛ - 1 1 1 - (71* - 1) d
in -7\
(-1) С1С2 Р (2 ¦ 2 у -Ш 2 . (6.7)
\Ра "г *с\сч?) cic2
Чтобы зависимость от Р и р\ исчезла, выберем
с'=р' C!=w- <б-8)
Теперь выражение (6.7) принимает вид
^ 1)л-1 22т~(т~0 d
(2 + 2 г)1
(6.9а)
Рассмотрим теперь ту же самую диаграмму в разложении приближенной
рекуррентной формулы. Каждой внешней линии здесь сопоставляется множитель
21-(i/2, а каждому пропагатору- множитель (2 + 2л)-1. Учет всех
множителей для случая диаграммы с 2т внешними линиями и I внутренними
дает
2?m-md (2 _|_ 2Г)~\ (6.96)
Кроме этих множителей, каждой вершине с четырьмя внешними линиями
сопоставляется множитель - и, вершине с шестью линиями - множитель - шит.
д.; эти множители за исключением знаков "-" появляются так же и при
первоначальной интерпретации диаграмм. В разложении (6.6) имеются
комбинаторные множители, возникающие при подсчете числа способов
сопоставления данной вершине внутренних линий [например, множитель 6 в
члене Qux2y222~d в (6.6)
4*
ГЛАВА 6
является комбинаторным множителем], или числа способов спаривания
различных вершин, образующих заданную диаграмму. Комбинаторные множители
одинаковы как для случая разложения функционального интеграла, так и для
разложения рекуррентной формулы. Кроме этого, имеется некоторый общий
множитель для всех диаграмм, а именно диаграммы для интегралов в правой
части (6.5) дают вместо Q'(x) выражение-Q'(x)/2d. Следовательно, чтобы
получить Q'{x), их умножают на множитель - 2d, что изменяет множитель
(6.96) и приводит его к виду
{-\f-'22m-(m-x)d{2 + 2r)-\
который совпадает с (6.9а).
Это выражение завершает вывод приближенной рекуррентной формулы,
предложенный Поляковым. Заметим, что для приближенной рекуррентной
формулы г] =0; последнее следует из формулы (5.36), поскольку ? =
2(d+2)/2. Причиной этого служит тот факт, что вся зависимость от
импульсов в диаграммах не была принята нами во внимание.
Приближенная рекуррентная формула в количественном отношении не является
приближением к точным уравнениям ренормализационной группы. Насколько
известно, она не является ни первым членом какого-нибудь точного
разложения точных уравнений ренормализационной группы, ни первым членом
ряда последовательных приближений, сходящегося к точным уравнениям. Мы
можем судить о ее справедливости, только сравнивая решения приближенной
рекуррентной формулы с другими расчетами, такими, как высокотемпературные
разложения (см. гл. 7 и 8). В этом смысле она действительно является
неплохим приближением.
Бейкер [39] и Дайсон [40] построили модели, для которых эта рекуррентная
формула является точной. Эти модели, однако, содержат дальнодействующие
взаимодействия необычного характера. В работе [41] Голнер дал вывод
некоторой модифицированной формы рекуррентной формулы, в которой г] не
обращается в нуль автоматически.
Первоначальный вывод рекуррентной формулы [36], использующий "анализ
разбиений фазового пространства на ячейки", является более убедительным,
чем вывод Полякова, который предложен здесь. Анализ разбиений фазового
пространства на ячейки не обсуждается в этой книге, поскольку он уже
несколько раз излагался: достаточно полно в работе
100
ПРИБЛИЖЕННО Я РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
[36] и кратко - в работе [77]. После изучения данной главы и гл. 7
упомянутые работы должны стать гораздо менее трудными для чтения. Анализ
разбиений фазового пространства на ячейки первоначально был развит в
связи с исследованием неподвижного источника в качестве модели нуклона
[107]. Реальное значение этого анализа состоит в том, что он является
методом, который можно использовать для исследования проблем, где вся
обычная традиционная техника не применима. Именно такой, в
действительности, и была ситуация в теории критических явлений в то
время, когда была написана работа [36]. Другой пример использования
анализа
Фиг. 6.7. Идеальный график приближения Qi к неподвижной точке.
разбиений фазового пространства на ячейки дан в работе Лангера и Бар-она
[47].
Сейчас мы обсудим, как рекуррентная формула используется для исследования
критического поведения без проведения разложения по степеням и, w и т. д.
Поскольку (6.5) - нелинейное интегральное уравнение, единственным
адекватным средством анализа является компьютер. К счастью, одномерные
интегралы с большой точностью и легкостью можно оценить численно. Анализ
уравнения (6.5) начинается с поиска его неподвижных точек [36].
Рассмотрим начальное взаимодействие с Qo (у) = г0у2 + 0,5г/4. Коэффициент
г0-параметр, который варьируется для того, чтобы определить критическую
температуру. Чтобы сделать это, с помощью компьютера для заданной
величины г0 строят последовательность
Qo ("/)-> Qi ("/)-> • • • -> Q; (у)->• (6.10)
Последовательность исследуется для фиксированного значения у, скажем у =
