Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
е. В этом случае функциями v2(q) и т. д. пренебрегать нельзя, однако при
вычислении их не возникает никаких новых проблем (за исключением,
возможно, некоторых трудностей, связанных с интегрированием при нецелой
размерности d). Дело в том, что вычисление можно построить таким образом,
чтобы до определения собственно о* (q), о4 (q, ..., ^3) и т. д. с любой
заданной точностью е" были известны диаграммы, дающие вклад в о* (q) [т.
е. функция F*2 (<7)] и т. д. во всех порядках вплоть
до еп. Возможность итераций в таком случае обеспечивает
существование v*(q) с точностью до гп.
Итерируемое(tm) уравнений для v*2 (q) и т. д. является следствием того
факта, что эти функции можно полностью выразить через несущественные
переменные. Например, мы показали, что если член v*2(q) записан как w\q4
-f w*2qs -j- .. то для w\ и т. д. имеют место выражения
ДО* = а,ДО* + Член 2-го порядка,
W2 = Cl2W2 -ф- Член 2-го порядка, (5.32)
где а.\ •< 1, а.2 С 1 и т. д. Тот факт, что а* < 1, делает возмож-ным
решение этих уравнений для до* и w\, если члены второго порядка известны.
90
МОДЕЛЬ S' (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Итерируемость возможна даже для обычных переменных. В частности,
уравнение для г* также можно итерировать, если записать его в виде
Г* = 4Г* + Другие члены. (5.33)
Тогда его также можно разрешить относительно г*. Только
уравнения, подобные уравнению для и*, т. е.
и* - а3и* Другие члены, (5.34)
где а3 = 1 + в, неитерируемы, так как коэффициент а3
слиш-
ком близок к единице.
Фиг. 5.4. Диаграмма низшего порядка, влияющая на величину ?.
Рассмотрим, наконец, постоянную взаимодействия ?. До сих пор во всех
вычислениях постоянная ?2 оказывалась равной 2d+2 независимо от е. Однако
при вычислении в более высоких порядках величина ? изменяется. Уравнение,
которое определяет ?, имеет вид
2____________$ 9 ( 1 2
q - 2 П J ? Н" Члены порядка q2, соответствующие всем
диаграммам, дающим вклады в и2 j . (5.35)
Диаграмма низшего порядка, вклад которой пропорционален q2, изображена на
фиг. 5.4. Эта диаграмма имеет порядок е2, поэтому постоянная ? должна
содержать компенсирующий член порядка е2. В гл. 7 будет показано, что
величина ?*, равная значению ? в неподвижной точке, определяет
критический показатель т). Соответствующая формула имеет вид
Т1 =d + 2-^f. (5.36)
Глава 6
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
Настоящая глава посвящается приближенной рекуррентной формуле [36]. Эта
приближенная рекуррентная формула представляет собой некую аппроксимацию
преобразования ренормализационной группы, которое обсуждалось в гл. 4 и
5. Она позволяет получить приближенное описание ренормализационной группы
для размерностей 2 < d 4, а также проливает некоторый свет на
справедливость (т. е. область применимости) е-разложения.
Дополнительные степени свободы, возникающие в точных уравнениях
ренормализационной группы, если их сопоставить с простыми уравнениями для
г и и, будут в основном двух типов. Во-первых, вместо упомянутых
параметров г я и мы имеем зависящие от импульсов функции, такие, как
u2(q) и Ui(q, ..., ^з)- Во-вторых, в общем случае имеются не только
функции "2 и ы4, а бесконечное множество функций и2, Щ, Щ, Us и т. д.,
соответствующих всем степеням спиновой переменной. В приближенной
рекуррентной формуле принимаются во внимание все степени спинов, однако
импульсная зависимость учитывается только в и2. В этой книге наиболее
важным моментом является то, что приближенной рекуррентной формуле
соответствуют диаграммы Фейнмана, сколь угодно больших порядков и в
достаточном числе, так что расходящийся характер ряда, отвечающего
разложению по диаграммам Фейнмана, в рекуррентной формуле сохраняется.
Это означает, что рекуррентную формулу можно использовать в качестве
модели для иллюстрации того, как плохо вклады от диаграмм высших порядков
влияют на е-разложение, когда вычисления проводятся, скажем, для
размерности d = 3.
Приближенная рекуррентная формула была впервые получена с помощью метода
функционального интегрирования [36]. Здесь будет дан более ясный и
простой диаграммный вывод этой формулы, принадлежащий Полякову1).
') А. М. Поляков, чаотное сообщение.
92
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
§ 1. ВЫВОД, ПРЕДЛОЖЕННЫЙ ПОЛЯКОВЫМ Рассмотрим гамильтониан вида
Ж = {Vs (ж)}2 - с, J Q [c2s (ж)], (6.1)
X X
где s (ж) - обычное спиновое поле, а функцию Q можно представить в виде
разложения
Q[y]^ry2 + uyi-\-wt^-{------ (6.2)
В гамильтониан Ж введены две постоянные с\ и с2; они выбираются таким
образом, чтобы в рекуррентную формулу не входили некоторые фазовые
интегралы по пространству. Отметим, что в гамильтониане Ж зависимость от
импульса появляется только в первом члене, т. е. в выражении (6.2) не
появляются градиенты. Как обычно, мы намерены использовать уравнения
ренормализационной группы для того, чтобы построить эффективный
гамильтониан Ж', который будет иметь тот же вид, что и Ж. Иначе говоря,
мы попытаемся с помощью некоторых аппроксимаций привести эффективный
