Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
1,5. Обычно в этом случае хотят получить,, как изображено на фиг. 6.7,
последовательность,, сходящуюся1
101
ГЛАВА в
к пределу при I -* ос. На практике это никогда не происходит. Если го
выбрано слишком большим, последовательность Qi расходится и стремится к
бесконечности, так как мы находимся выше критической точки и гауссовый
член г;г/2 при больших I доминирует, а в таком случае ri+\ = 4г*. Чтобы
компенсировать этот рост, величину начального го уменьшают, а затем
строят новую последовательность Qi. Если параметр г0 выбран слишком
малым, последовательность для больших / будет иметь тенденцию к сильным
осцилляциям. На практике
Фиг. 6.8. Функция Q* (у), соответствующая неподвижной точке для
размерности 3 и определенная численным методом из приближенной
рекуррентной формулы.
обычно идут на компромисс между этими двумя предельными случаями и
выбирают г0 вначале таким, чтобы последовательность Qi попадала внутрь
некоторой заданной области после заданного числа итераций I'. Эту
процедуру *) затем повторяют для больших значений числа V. Считается, что
мы имеем хорошее приближение к функции Q*, соответствующей неподвижной
точке, как только удается получить последовательность Qi(y), поведение
которой стабилизировалось после достаточно большого числа итераций I' (на
практике V ^ 12).
В случае трех измерений результирующая функция изображена на фиг. 6.8.
Дальнейшие свойства рекуррентной формулы и функции Q*, соответствующей
неподвижной точке, будут рассмотрены в следующей главе.
•) С соответствующим изменением величины параметра го. - Прим. пврев.
Глава 7
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ,
вытекающие из приближенной
РЕКУРРЕНТНОЙ ФОРМУЛЫ
Эта глава делится на две части. В первой части заканчивается обсуждение
результатов, полученных на основе приближенной рекуррентной формулы. Во
второй части выводится формула, выражающая законы подобия (скейлинг) для
n-спиновых корреляционных функций. Последняя формула позволит нам с
помощью техники фейнмановских диаграмм вычислить е-разложения для
критических показателей.
Напомним, что вывод приближенной рекуррентной формулы, приведенный в
последней главе, связан в первую очередь с гамильтонианом:
#0 - - т 5 [Vs{х)]2 - Cl S Qo [CzS {*)]; (7Л >
X X
допустимые значения импульса в этой физической системе лежат в интервале:
0<|^|< 1. Рекуррентная формула порождает новый гамильтониан, описывающий
то же самое физическое явление для системы, у которой импульс обрезания в
2 раза меньше. В частности, гамильтониан
Жг = - \ J [Vs (*)]2 - с, $ Q, [c2s (*)] (7.2)
X X
при условии, что
Qz+i iy) = - in ^~^~7~(0у ¦ (7.3)
где
+ 00
/,(2)= J ехр[-l?-±Ql{y + z)-^Ql{-y + z)\dy, (7.4) - 00
приводит к тому же физическому явлению, что и (7.1), но уже для системы с
импульсом обрезания |</|< 24 Эти формулы
103
ГЛАВА 8
к пределу при I -* °°. На практике это никогда не происходит. Если г0
выбрано слишком большим, последовательность Qi расходится и стремится к
бесконечности, так как мы находимся выше критической точки и гауссовый
член ггу2 при больших I доминирует, а в таком случае ri+\ = 4ri. Чтобы
компенсировать этот рост, величину начального гс уменьшают, а затем
строят новую последовательность Qt. Если параметр г0 выбран слишком
малым, последовательность для больших I будет иметь тенденцию к сильным
осцилляциям. На практике
Фиг. 6.8. Функция Q*(y), соответствующая неподвижной точке для
размерности 3 и определенная численным методом из приближенной
рекуррентной формулы.
обычно идут на компромисс между этими двумя предельными случаями и
выбирают го вначале таким, чтобы последовательность Qi попадала внутрь
некоторой заданной области после заданного числа итераций I'. Эту
процедуру *) затем повторяют для больших значений числа V. Считается, что
мы имеем хорошее приближение к функции Q*, соответствующей неподвижной
точке, как только удается получить последовательность Qi(y), поведение
которой стабилизировалось после достаточно большого числа итераций I' (на
практике V ^ 12).
В случае трех измерений результирующая функция изображена на фиг. 6.8.
Дальнейшие свойства рекуррентной формулы и функции Q*, соответствующей
неподвижной точке, будут рассмотрены в следующей главе.
*) С соответствующим изменением величины параметра Гц,-Прим. пврев.
Глава 7
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ПРИБЛИЖЕННОЙ РЕКУРРЕНТНОЙ
ФОРМУЛЫ
Эта глава делится на две части. В первой части заканчивается обсуждение
результатов, полученных на основе приближенной рекуррентной формулы. Во
второй части выводится формула, выражающая законы подобия (скейлинг) для
rt-спиновых корреляционных функций. Последняя формула позволит нам с
помощью техники фейнмановских диаграмм вычислить е-разложения для
критических показателей.
Напомним, что вывод приближенной рекуррентной формулы, приведенный в
последней главе, связан в первую очередь с гамильтонианом:
