Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
точки] имеет вид
до' = адо, (5.3)
§1
ГЛАВА 4
это означает
%°(г* + тг) = 2~(1+п) + *)• (4-46)
Теперь если предположить, что
!о(7'с-Ьт)~т-'', тогда для произвольного малого т имеем
(4.47)
(4.48)
Это уравнение непротиворечиво только в том случае, если
Следует сделать несколько замечаний по поводу этого результата. В
выражении для критического показателя v не появляются детали (а именно,
множители In2), связанные с искусственными особенностями построения
итерационной схемы. Это очень существенно, так как величина v должна
определяться свойствами физической системы, а не методом вычисления!
Кроме того, для ненулевых е показатель v отличается от соответствующей
величины в гауссовой модели (среднее поле). Следовательно, модель,
рассмотренная в этой главе, является примером, в котором при определении
критического поведения физической системы некоторую определенную роль
играет взаимодействие. Заметим также, что величина v, определяемая
(4.50), выражается через наибольшее собственное значение Я] матрицы М.
Это очень похоже на результаты гл. 2. В гл. 2 матрица М с размерами 2X2
была заменена матрицей с размерами 1 X 1 с единственным собственным
значением Я [см. (2.26)]. Аналогично уравнение
(2.29) для v в гл. 2 получается из (4.50) подстановкой Я вместо Яь
Заметим, наконец, что v не зависит от начальной (затравочной) постоянной
и0. Это - пример реализации гипотезы универсальности, которая обсуждалась
в гл. 1,
(4.49)
т. е.
In 2 In Я1
(4.50)
С точностью до в это дает для v:
Глава 5
МОДЕЛЬ s4 (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Как было показано в гл. 4, для того чтобы быстро получить результаты,
уравнения ренормализационной группы пришлось в какой-то степени
"испортить". В настоящей главе уравнения ренормализационной группы будут
рассмотрены более аккуратно. На основании полученных результатов мы
сможем сделать вывод, что простые уравнения, выведенные в гл. 4, верны с
точностью до в = (4 - й). Обсуждение, будет состоять из двух частей.
Сначала мы рассмотрим всевозможные мыслимые обобщения полученных выше
простых уравнений и выясним, какие из этих обобщений могли бы вызвать
затруднения. Затем исследуем полные уравнения ренормализационной группы.
где в - 4 - d, ad - размерность системы. Эти уравнения обладают
неподвижной точкой:
Предположим теперь, что точные уравнения содержат еще и некоторую другую
постоянную взаимодействия w. Тогда будет иметь место еще одно уравнение
для w'. Положим, что этц уравнение [по крайней мере вблизи неподвижной
точки] имеет
§ 1. НЕСУЩЕСТВЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ И е-РАЗЛОЖЕНИЕ
В гл. 4 были получены рекуррентные формулы:
и
*
9 с
8 In 2, Г* ---------|-в1п2 (с точностью до е). (5.2)
ВИД
w' - aw, §1
(5.3)
ГЛАВА 5
где а "С 1. Тогда, итерируя (5.3), находим, что до'-*0 и параметр до,
таким образом, исчезает из рассмотрения. Следовательно, о параметре до
можно говорить как о несущественной переменной по отношению к такой
неподвижной точке, для которой справедливо (5.3). Термин "несущественная
переменная", или "несущественный параметр", не следует понимать
буквально; смысл слова "несущественный" в теории критических явлений
достаточно запутан, однако в этой и последующих главах в его понимание
будет внесена некоторая
Фиг. 5.1. Диаграммы а и б, вклад которых линеен по и.
ясность. Обсуждение несущественных переменных и неподвижных точек
содержится также в работе [36]. Термин "несущественная переменная" введен
Кадановым в работе [100]1).
Поставим вопрос: в каком случае присутствие несущественных параметров
может изменить неподвижную точку (5.2)? Предположим, что уравнение для
до' имеет вид
w' = -j- до -f- Члены второго порядка, такие, как и2, uw, w2 и т. д.
(5.4)
Мы предполагаем, что в (5.4) отсутствуют члены, линейные по и.
(Переменная до по-прежнему рассматривается как несущественная, причем
члены второго порядка при определении того, является ли параметр до
существенным или несущественным, следует игнорировать. Член,
пропорциональный и, может появиться только в формулах для г' и
единственные диаграммы, вклад которых линеен по и, представлены на фиг.
5.1, а и б.)
') Термин "irrelevant variable" в работе Каданова означает переменную,
маркирующую систему (например, ферромагнетик Гейзенберга или Изинга), но
несущественную, если интересоваться основными чертами критических
явлений. В данном контексте подобные переменные принимают участие в
промежуточных выкладках и исчезают в первом приближении из окончательных
результатов. Поэтому здесь термин "irrelevant variable" переводится
иногда как "промежуточная переменная". - Прим. ред.
а
б
82
МОДЕЛЬ S* (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Рассмотрим неподвижную точку, к которой приводит уравнение (5.4).
Очевидно,
до* = О (е2), (5.5)
если предположить, что (5.2) не нарушается, т. е. и* = 0(e). Мы должны
теперь задать еще вопрос: могла ли бы формула (5.5) привести к нарушению
(5.2) для и* и г*, если бы члены с до появились в (5.1)? В уравнении для
г* существенны только члены порядка е, так что вкладом от до* можно
