Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
параметрах? Чтобы усмотреть ее, разложим "2 по степеням q2:
"2 (?) = г + ?2 + wtf -f w2q6 + ... . (5.20)
86
МОДЕЛЬ 5* (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Тогда (5.17) (в низших порядках по q) дает
w'i=T6wi' w2 = lkw2> <5-21)
и, таким образом, все переменные W\, w2, ... являются несущественными
переменными [см. (5.3)].
Теперь должно быть ясно, что член о' не может нарушить простых уравнений
для г* и и*, поскольку и* появляется в (5.9) только в членах с
пропагаторами. Эти члены уже имеют порядок О (г2), следовательно,
присутствие v] ведет к поправкам ~0(е4), которыми можно пренебречь.
Исследование щ аналогично исследованию и2. Мы начнем с того, что запишем
и* в виде
< (Чр • • •. Ч4) = "* + и4 (Чр • • • > Ч4), (5-22)
где о4-остаток, определенный таким образом, что
v\ (0, 0....0) = 0.
Тогда, подставляя (5.22) в (5.9) и используя (5.15), можно получить
уравнения для и* и ..., ^4):
' С "*2 , г Иб(°- •••> °> Р' -Р) , )
и- 21 и 36 J {р2 + гу + 15 ] p2 + r*
\ р Р )
(5.23)
v\ (>,, <74) = 2ev* , ..., ~) + г F\(qv ..<74). (5.24)
Все члены + ... в уравнении для и* имеют порядок е3 или выше, и ими можно
пренебречь. Из соотношения (5.24) можно заключить, что о*~0(е2), если
воспользоваться теми же рассуждениями, которые позволили из (5.17)
получить о*~0(е2). Так как член о* не входит в уравнение для и* линейно,
то он не нарушает этих простых уравнений.
Обсудим теперь величину вклада от члена ы6. Поскольку член "6 входит в
уравнение для и* линейно [см. (5.23)], возможно, что он является в этом
смысле потенциально опасным. Рассмотрим уравнение (5.9) для "' и, в
частности, член, соответствующий диаграмме на фиг. 5.2. Этот член
возникает
87
ГЛАВА 5
только тогда, когда внутренняя линия "несет" импульс, больший Уг. т. е.
gi I i <7з
2 2*2
>
(5.25)
Однако в уравнение (5.23) для "* входит только функция цЦО, ..., 0, р, -
р). На фиг. 5.2 это соответствует qi=q2 = О, q3 - р. Для того чтобы
удовлетворить требованию (5.25), мо-< дуль |р|
Фиг. 5.2. Диаграмма, дающая вклад в
"в (01, ...,0б)-
должен быть в точности равен 1 (фиг. 5.3). Это лишь одна точка в
интеграле (5.23) по ]рj и, следовательно, она не вносит вклада в и*.
Существуют другие диаграммы, которые вносят вклад в "б(0, ..., 0, р, -р)
при |р| < 1, но величина этих вкладов порядка е3; таким образом, "6 не
приводит к появле-
Ф и г 5.3. Единственная диаграмма, дающая вклад и6, который входит
в
в уравнение для нейно.
иг ЛИ-
НИЮ членов порядка е2 в уравнении для и* '). Следовательно, уравнение
(5.23) для и* является верным!
Наконец, мы должны преобразовать уравнение для и* к виду, который мы
получили в гл. 4. В частности, так как
г* ~ О (е) и
и
¦0(e),
') Уравнение для м6 содержит член, линейный по ив', таким образом, если
бы величина и8 имела порядок в2, то величина и6 также была бы порядка е2.
Однако прямое исследование уравнения для ив показывает, что ив имеет
порядок е3.
МОДЕЛЬ S* (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
мы можем провести в (5.23) следующее преобразование:
\ (/+V)3 =u*2\jr + 0(e% (5.26)
р р
и если мы переопределим постоянную с из гл. 4 как
с = 4 \jr, (5.27)
р
то обнаружим, что (5.23) примет вид
и - 2е {и - 9см*2}, (5.28)
который совпадает по форме с (5.1), если мы пренебрежем г в знаменателе
второго члена (5.1). Вернемся теперь к уравнению для г*. В частности,
чтобы вычислить показатель v, необходимо записать уравнение (5.16) для
малых отклонений от критической точки. Получаем
г'_г* = 4|г-г*-12"*57^1г+ ... J. (5.29)
Мы можем приближенно записать
S^jr*jr=^ + 0(8)=| + 0(s) (5.30)
р р
и, таким образом, представить (5.29) в виде
г' - г* = 4 [ 1 - 3"*с] (г - г*). (5.31)
Поскольку в (5.28) и в (5.31) содержится одна и та же постоянная с, она,
как и в гл. 4, при вычислении критического показателя v сократится.
Следовательно, мы показали, что рекуррентные формулы (5.1) вполне
достаточны для определения критического показателя в низшем порядке по е.
§ 2. ПОЛНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЕ
Из проведенного выше обсуждения видно, что точные уравнения
ренормализационной группы не являются безнадежно трудными для анализа. С
точностью до е они сводятся к простым алгебраическим уравнениям для двух
параметров
89
ГЛАВА S
г* и и*. Основное свойство, которое сделало это упрощение возможным,
заключалось в "итерируемое(tm)" уравнений ренормализационной группы по
оставшимся функциональным переменным о* (<7), vl(q, q{, q2, q3) и т. д.
Иначе говоря, если
поправочные члены F\(q) в уравнении для v*2(q) известны и имеют порядок
е2, то о* (q) можно явно вычислить с помощью (5.18), причем эта функция
так же имеет порядок е2. В этом смысле поведение поправочных членов
отличается от того, к которому мы приходим, решая уравнение для и*:
второй член в нем порядка е2, однако решение уравнения для и* имеет
порядок е.
Итерируемое(tm) уравнений по. переменным о* (ч) и т- Д-обеспечивает
возможность последовательного вычисления положения неподвижной точки
ii2{q), u-l(q, ..., q3) и т. д. с точностью до более высоких порядков по
