Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
предыдущего. Предполагается, что параметр и мал по сравнению с 1. Это
позволит нам использовать теорию возмущений для описания вкладов от
нового члена гамильтониана. Отметим также, что в конфигурационном
пространстве новый член есть просто
Ж] = - и ^ s4(*).
X
Следуя идеям предыдущей главы, мы попытаемся определить новую физическую
систему, в которой высокочастотные моды настоящей системы
проинтегрированы. Эффективный гамильтониан, определяющий поведение новой
физической си-
63
ГЛАВА 4
стемы, будет представлен в таком виде, который максимально сходен с
(4.2). Это повлечет за собой некоторое значительное упрощение,
обоснование которого будет дано в следующей главе. Вместо параметров г и
и в эффективном гамильтониане появятся новые параметры г' и и', причем
они будут выражаться через параметры г и и с помощью простых формул. Это
сходно с рассмотрением проблемы Кондо, проведенным Андерсоном [4].
Построение эффективного гамильтониана происходит следующим образом. Пусть
в исходной системе интегрирование по импульсам выполняется в области 0
<|qr|< 1. Новая система, как и в гл. 3, получается интегрированием
высокочастотных мод с '/г < |<у| < 1. Запишем функцию о, в виде
+ (4.3)
где
a, g=<yq, если у < | q |<Л, и ^=0 в противном случае,
1 ' , (4'4) <т0 q=oq, если \q у. и <т0 ?=0 в противном случае ')•
Тогда функциональный интеграл Z можно представить следующим образом:
(4.5)
Проинтегрируем высокочастотные моды о^. Тогда остается Z' = $ехр {Ж
[о']}, (4 6)
а'
Новый гамильтониан Ж' выражается в виде
ехр {Ж [а']} = ^ ехр {Ж [а0 + aj}, (4.7)
<ч
где
ао 0<|qr|<y.
') Величины (?0 ?, используемые здесь, в работе [36] обозначены через
aitq, н наоборот.
64
Z = ^ ехр {Ж [а]} = ^ | ^ ехр {Ж [а0 + а,]}
а <т0 \ <Ь
МОДЕЛЬ S'
Здесь, как и в гауссовой модели, определено перенормированное поле Од',
зависящее от импульсов с измененным масштабом.
С новым гамильтонианом Ж связана корреляционная функция Г^', причем новая
корреляционная длина равна
V dq'2 Г'
(4.8)
?'"=о
Как и в предыдущей главе, для Гч и Г29 мы будем иметь соотношение
а для | и |7 - соотношение
r=i I-
Точную связь между Ж и Ж', если и мало, можно найти, используя теорию
возмущений. Наиболее общий вид для Ж' можно записать следующим образом:
= ~ Т S "2 (q) GqG-g ~ \ \ (?*" ?2' ?3, ~Ц 1 -02, - 0з) X
Я 01 0" 0"
X Ог91°г?1^9з°Г--01-0г-011 + Члены более высокого порядка по о'. (4.9)
Функции "2, "4 и т. д. будут определены из (4.7). Упрощения, необходимые
для того, чтобы привести (4.9) к виду (4.2), будут введены ниже. Запишем
(4.7) следующим образом:
ехр {Ж [в']} = J ехр {ЖР [о] + [а]},
ехр {Ж [о']} = ехр {ЖР [а0]} ^ ехр {ЖР [а,] + 5?7 [а0 + а,]}. (4.10) Член
ехр {ЖР [а0]} можно довольно просто выразить через o'l
? S (i n)
0<|?|<'/2
ЖР[о0] = -~(?2~d-2) \ (q2 + 4г) ОдО-Г (4-12)
о<|"1<1
3 Зак, 409 65
ГЛАВА 4
Нетривиальные физические следствия вытекают из рассмотрения членов,
зависящих от и. Чтобы получить эти члены, возьмем (4.10) и разложим ехр
{j@i[o]} по степеням и. Это разложение удобно представить графически.
Сопоставим величине (-Ж{) вершину с четырьмя внешними линиями (фиг. 4.1,
а). Четыре линии, выходящие из точки пересечения, символизируют четыре
величины а, которые содержатся в 36i. Диаграммное представление
разложения
ехр (Ж!) = 1 + <9^/ + у <9^? + j <9&/ + ... (4.13)
дано на фиг. 4.1,6. Рассмотрим теперь функциональный интеграл в формуле
(4.10). Чтобы использовать разложение
XI Фиг. 4.1. а - диаграммное пред-
/-x+gtxx) ставление величины-5^; б-диаграммы, соответствующие разложе-д
6 нию ехР •
(4.13), мы должны уметь вычислять гауссовы интегралы следующего вида:
I (?1> • • • > О = $ ai, 9l • • • <*!, Чк ехР {Жр |>i]}- (4.14)
<j|
Эти интегралы можно записать с помощью функционального интеграла
ZF = ^ ехр \Шр [а,]} (4.15)
а,
и спаривания о, qal , которое при '/2 < | q | < 1 имеет вид
^7*1.4,= (2я)<* & 7?+г~ 1 (4'16)
а при |^| < V2 обращается в нуль. Интеграл I(q ь ...,^д), как это
установлено в гл. 3, равен функции ZP, умноженной на сумму всех возможных
спариваний из произведения *)
• •• °W
(Этот вывод был получен в гл. 3 при интегрировании в слу^ чае дискретного
множества спинов; он справедлив также и
') Имеется в виду сумма всех возможных полных спариваний (см, гл. 3). -
Прим. перво.
66
МОДЕЛЬ S*
для функциональных интегралов ) Множитель ZF дает в Ж вклад, равный
постоянной, т. е. не зависящий от о', и поэтому его можно опустить (мы
должны рассматривать в Ж только члены, зависящие от о').
В диаграммном разложении, представленном на фиг. 4.1,6, каждая внешняя
линия, выходящая из вершины, отвечает переменной oq. Записывая ад в виде
<*, = *0 .в + аия>
мы должны рассмотреть для каждой внешней линии два возможных случая. Если
она представляет переменную а, , то такую внешнюю линию необходимо
спарить с другой внешней линией, которая так же представляет 01>я. Для
этого проведем,
Фиг. 4.2. Диаграммы первого порядка после х 9 9
проведения функционального интегрирования
