Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
можно выбрать такое большое п, что длина ЦКп) будет достаточно мала, так
как Кп > 2Кс. Тогда длина 1(Кп) известна, а ЦК) определяется с помощью
(2.32). Конечно, это вычисление можно провести, если только известна
функция f(K).
Важным моментом в анализе Каданова является идея о том, что можно, исходя
из аналитической функции f{K), прийти в итоге к неаналитическому
поведению |(К) в точке Кс, в которой f(Kc)= Кс- Более того, для величины
v не получается определенного, не зависящего от f(K), значения; для
вычисления v необходимо знать функцию f(K). Следовательно, v не обязано
иметь величину '/2, соответствующую приближению среднего поля. В
действительности величина v, вопреки представлениям некоторых физиков,
занимающихся статистической механикой, может быть числом иррациональным.
В следующих главах идея Каданова о существовании эффективных
взаимодействий спиновых блоков с постоянными связи, аналитическими по Т,
будет реализована в разных формах, причем все функции будут заданы явно.
Явно будут вычислены также такие критические показатели, как v и др.
') То есть в "ферромагнитной" области, которая соответствует температуре
Т < Т" - Прим. ред.
Глава 3
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ. ГАУССОВА МОДЕЛЬ
В этой главе, исходя из интуитивных идей Каданова, мы начнем получать
количественные результаты. Найдем выражение, связывающее исходное
взаимодействие и взаимодействие спиновых блоков, а для иллюстрации
используемых идей вычислим для некоторой тривиальной модели (гауссовой
модели) [86] критический показатель v. В этом случае показатель v = '/г,
т. е. имеет такую же величину, как в теории среднего поля.
Гауссову модель можно получить, модифицируя модель Изинга. Вначале
запишем статистическую сумму Изинга в интегральном виде, а именно:
оо
1=П 526 (s*-*)ехр (к Tj ? s"s"+?) • (3-1}
т -оо \ a t /
Это простая запись исходной статистической суммы. Представим теперь, что
происходит расплывание б-функции (фиг. ЗА, а) около sm=±l, так что
получается сначала плавное распределение (фиг. 3.1,6), а затем функция
распределения Гаусса (3.1, в). Конечно, распределение на фиг. 3.1, в
имеет лишь отдаленное сходство с распределением, соответствующим исходной
модели Изинга. Если мы тем не менее в статистической сумме (3.1) заменим
б-функцию на
ехр (-j bsjj), то получим
+ оо
1 = П \ еХр (" Т bSm) еХр (К ? ? S"S"+<- ) dSm' (3.2)
т -оо V п % J
49
ГЛАВА 3
где b - произвольная постоянная. Формула (3.2) отвечает гауссовой модели
[86]. Позже мы рассмотрим обобщение:
ехр(-yfa^-^exp^-jfa*-ия*), (3.3)
где и - положительное число. Если и порядка единицы (и не мало), то
исследование можно провести, используя рекуррентную формулу, которая
будет получена ниже. В этом случае
-1 +1
а
JUL
-/
8
Фиг. 3.1. Переход от модели Изинга к гауссовой модели.
У модели Изинга спины в каждом узле решетки направлены либо вверх, либо
вниз (а). У модели, соответствующей фиг. 3.1, б, спиновые переменные
имеют максимальные значения в окрестности нэииговских значений спииа
зт="± 1. У гауссовой модели спиновые переменные в каждом узле имеют
гладкге гауссово распределение в окрестности нуля (в).
модель с распределением (3.3) начинает приближаться к реальной модели
Изинга. Наконец, если и-* оо, а 6-" - оо при b в= -4и, мы снова получаем
модель Изинга [для этого необходимо учесть еще, что на каждый спин
приходится множитель (и/п) v*exp (-и) ].
Напомним некоторые особенности гауссовых интегралов. Для этого удобно
ввести матричные определения:
2 snAnmsm,
. _nvm О-4)
Р(r) 2-1 Рп?я>
п
59
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР, РЕНОРШЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
причем матрица А симметрична, т. е. матричные элементы ие изменяются при
п-^-т. Тогда, используя формализм, который будет кратко изложен, можно
оценить следующий интеграл:
Д J ехр (-^ Si4s + ps) dsn = С ехр (-j рЛ-1р), (3.5)
где нормирующий множитель С является функцией А. Например,
где N - число узлов решетки. Чтобы привести показатель в подынтегральном
выражении к полному квадрату, в выражении (3.5) производят сдвиг
переменных интегрирования s". [Ниже, см. (3.21), приведен пример такого
преобразования.] Из представления (3.5) можно получить все интегралы вида
Эти интегралы понадобятся нам в гл. 4. Процедура сводится к
дифференцированию (3.5) по переменным pmi ... pmft, В результате получаем
Второй шаг состоит в том, что переменные рт для всех т полагаются равными
нулю. Если k - нечетное число, то интеграл обращается в нуль; если же k -
четное число, то необходимо рассмотреть только такой член разложения
экспоненты, который имеет порядок рй; это дает
Теперь у нас имеется k производных, действующих на k/2 множителей
('/гМр)- Для иллюстрации вычисления произ*
51
П -ОО
С = (det Л)~',г (2n)Nli,
оо
Д J (Sm 1$т2 s""ft)exp(- ^sAs')dsn = I(ml, ..., тк). (3.6)
ft -00
оо
ГЛАВА 3
водных рассмотрим случай k - 4. Здесь необходимо вычислить
1р)(тРл 'р)/2!
В результате дифференцирования получаем некоторое число членов вида U
