Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
о I я я )
Преобразование сдвига для переменных в этом случае означает замену
°,=-?+7 + <t,- (3.21)
На языке a'q получаем
2 0) = 4ЛеХр("'И(42 + г> + 1 5 U-я (?Пт) } *
о' к Я я )
(3.22)
Функциональный интеграл пропорционален Z и мы имеем
Z{]l = exp^\jqLq(1^7)y (3.23)
5S
ГЛАВА 3
Разлагая выражения (3.20) и (3.23) по /' до второго порядка, видим, что
т S 5 W-* 5 ехр {- т S ^ Л ¦т=
"2 $ V-? <72 + г ' 0.24)
Это соотношение для функций / должно выполняться тождественно, отсюда
J аяаЯх ехр | - -i- J (q2 + г) а,а_, j Т =
= 6(? + ?.)^р7. (3-25)
где б (q + *i)"сокращенная запись выражения {2n)dbd{q + qx). Подставляя
эту формулу в (3.19), получаем для Г (ж) выражение (3.18).
Корреляционная длина | определяется обычно из выражения, описывающего
поведение Г(ж) при |*|-*оо. Если бы область изменения q была бесконечной,
поведение Г(*) для больших |*| определялось бы сингулярностью (q2г)~1 при
q= zti's/r, т. е. (без учета предэкспоненциальных степеней |*|)
Г (*) ~ ехр (- Уг |* |). (3.26)
Из выражения (3.26) находим 1= l/Vr- К сожалению, из-за наличия у области
изменения q вполне определенных границ 1*1=1 в асимптотическом выражении
для Г(*) при больших ж появляется еще один член, который ведет себя как
cos(|*|)'). Этот член обусловлен искусственным характером модели; его
можно устранить с помощью усреднения по большой, но конечной области в "-
пространстве. Когда корреляционная длина_? велика (мало г), усреднение не
влияет на член ехр(-Vr l*l)- Однако процедурой, более удобной для наших
целей, является введение другого определения корреляционной длины. Как
было отмечено первоначально, величина корреляционной длины
устанавливается по ведущей син-
') В этом можно легко убедиться непосредственно, вычисляя интеграл (3.18)
по области |?| < 1. - Прим. перев.
56
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
гулярности Г9: если ведущая сингулярность Г9 имеет место при q = ±iqs, то
| = l/qs. Положение этой сингулярности можно грубо определить, сравнивая
производную dTq/dq2 и Г9, когда q = 0, т. е. мы имеем
"2 d?Я^2
Аналогично
(3.27)
9=0
ddx
[ ж2Г (ж),
|2 .
^ Г (ж) ddx
Определенную таким образом величину \ называют "эффективным радиусом
корреляции" [97]. Для Г9 = 1 l(q2 + r) формула (3.27) дает
Г-у, (3.28)
и, следовательно, как и раньше, 1 /¦у/г .
В гауссовой модели г изменяется линейно с температурой Т. Точнее, с
учетом того, что К - J/kT [из (2.9)] для г получаем
r= bkT~2dL (3.29)
[см. также (3.14), (3.15)].
Критическая точка соответствует г = 0 и | = оо, следовательно, для Т >ТС
1~(Т- тсг'1г.
Таким образом, гауссова модель приводит к такому же значению критического
показателя v, как и теория среднего поля: v = '/г. Далее, формула (3.29)
для критической температуры дает кТс = 2dlfb. Критическая величина К
равна Кс = b/2d.
Точную формулировку метода ренормализационной группы можно дать для
гауссовой модели; она позволяет понять те идеи, которые будут применяться
позже к нетривиальным моделям.
В качестве первого шага при построении преобразования, отвечающего идее
ренормализационной группы, проинтегрируем спиновые компоненты о9 с '/г <
1^1 < 1 и оставим компоненты сг9 с 0 <|^]< 7г непроинтегрированными.
Другими
57
ГЛАВА 3
Словами, проведем интегрирование быстро флуктуирующих компонент спинового
поля s(x), а медленно флуктуирующие компоненты оставим
непроинтегрированными. Это есть некоторый способ реализации в духе
Каданова идеи о возникновении эффективного взаимодействия, включающего
только переменные, спиновых блоков; именно мы интегрируем те переменные,
которые ортогональны переменным спиновых блоков. В нашем случае в
качестве аналога переменных, описывающих спиновые блоки Каданова,
подразумеваются длинноволновые спиновые компоненты aqc |</| < 72-
Интегрирование по aq с 72<|91*<1 будет проведено в функциональном
интеграле, соответствующем статистической сумме, а не в функциональном
интеграле, соответствующем корреляционной функции. Однако тот же самый
метод вычисления применяется и в последнем случае, если только
функциональный интеграл, соответствующий Г9,, рассматривать при \qx | <
*/2:
Ь (Ях + q2) Г" = J aqiaq, exp ^ J (q2 + г) \ - (3.30)
Действительно, если и \qx\, и | q21 меньше 1/2, то соответствующие
компоненты aqi и вч, не включаются при вычислении интеграла по с 7г < IЯ
I < 1-
Вычисление, соответствующее первому шагу, определенному выше, тривиально.
Дело в том, что между компонентами aqс \q\~> 7г и компонентами oq с \q\
eg 7г нет никакой связи. Следовательно, единственным результатом взятия
функционального интеграла по о? с Ч2 будет появление
постоянной '), которая умножается на
ехр Г- j J (q2 + г) Л ,
*- я -*
где ^ означает интеграл только по области 0 < \ q\ < х/2- Так я
как эта мультипликативная постоянная в отношении двух функциональных
интегралов, определяющих Г9, сокращается,
¦) Необходимо отметить, что "постоянная" в действительности является
функцией температуры Т, см. (3.20). Однако это замечание не влияет на
