Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
либо все спины направлены вверх, либо все спины
43
• •
• •
• •
• •
а
XXX
ххх
ххх
в
Фиг. 2.7. Наглядное представление кадановского построения спиновых
блоков.
Исходная решетка (а) со спинами в каждом узле делится на блоки по четыре
спина в каждом блоке (б) и заменяется нозой решеткой (в) с "эффективными"
спинами.
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
направлены вниз. Это означает, что блок из 4 спинов ведет себя, как один
эффективный спин. Предположим теперь, что | равно 1000 в единицах
постоянной решетки (фиг. 2.7, а). Сгруппируем спины в блоки так, чтобы в
каждом было по 4 спина (фиг. 2.7,6). Предполагают, что каждый блок
обладает только двумя спиновыми степенями свободы, следовательно, для
каждого блока имеется единственная спиновая переменная. Таким образом,
исходную решетку можно заменить на эффективную, у которой теперь | = 500
в единицах эффективной постоянной решетки (фиг. 2.7, в). Таким путем
задача с ? = 1000 сводится к задаче с | = 500. Повторение этого
построения позволяет проводить дальнейшее уменьшение | до 250, 125 и т.
д. до тех пор, пока в конце концов мы не получим эффективную задачу с | ~
1. Ниже мы обсудим это дополнительно. Если исходные спины взаимодействуют
только с ближайшими соседями, тогда очевидно, что и эффективные спиновые
блоки также взаимодействуют только с ближайшими соседями. Удобно
определить перенормированные спиновые блоки так, чтобы их значения
равнялись +1, а не ± 4. Тогда энергия спиновых блоков, деленная на кТ,
равна
<2-19>
я" i
где К\ - постоянная, - спиновая переменная блока, а п - номер узла
эффективной решетки (X на фиг. 2.7, в). Единственное практическое
различие между эффективным взаимодействием Каданова (2.19) и исходным
взаимодействием
X KsnSn+?
п, i
состоит в изменении постоянной К на Кг. Причем постоянную взаимодействия
Кг нетрудно определить. Действительно, имеется только два типа спин-
спиновых взаимодействий, получаемых из затравочного взаимодействия,
которые связывают спиновый блок sj,1* с одним из его ближайших соседей
Если эффективные спины обоих этих блоков параллельны, энергия связи равна
2К, если они антипараллельны, энергия связи равна -2К. Следовательно,
Кг = 2 К. (2.20)
Предположим теперь, что мы решили первоначальную задачу с постоянной
взаимодействия К и получили величину
45
ГЛАВА 2
корреляционной длины ЦК) как функцию К в единицах постоянной исходной
решетки. Тогда корреляционный радиус для решетки, состоящей из спиновых
блоков в единицах постоянной блочной решетки, будет равен поскольку
взаимодействие в системе спиновых блоков имеет изингов-скую форму. Но
теперь корреляционная длина, выраженная в единицах постоянной блочной
решетки, должна быть равна половине корреляционной длины первоначальной
задачи, т. е.
(2.21)
Если задано, что ?(/(i) = Ч2КК), как только К\ = 2К, то зависимость \{К)
от К становится несколько более определенной. Предположим, что
температура системы равна критической. Для К соответствующая величина
равна Кс - JlkTc. При К - Кс величина ? бесконечна. Но теперь и
корреляционный радиус в системе, состоящей из спиновых блоков, должен
быть так же бесконечным, последнее же означает, что |(/Ct) = 00, а это
возможно только тогда, когда К\ также равно Ке- Следовательно,
КС = К1 = 2КС, (2.22)
что дает Кс - 0, либо Кс - оо, но не Кс - JjkTc.
Это бессмысленный результат: в действительности Кс - конечное число, не
равное 0 или оо. Неприятность возникает в связи с предположением о полной
упорядоченности спинов внутри блока. В действительности Каданов не
предполагал этого. Он лишь предложил считать, что блок будет вести себя
так, как если бы он имел только 2 возможных состояния и, следовательно,
мог бы быть заменен эффективным спиновым блоком. Оба эти состояния,
однако, не будут соответствовать случаям, когда все спины внутри блока
направлены либо вверх, либо вниз. Каданов предполагал, что между
спиновыми блоками будет существовать эффективное изинговское
взаимодействие с постоянной К\, которая является некоторой функцией f{K),
но функцией более сложной, чем величина 2К, которая получена выше.
Каданов, однако, не дал никакого рецепта для определения f(K)-
Единственное, что он действительно предположил, это по-прежнему
аналитичность функции f(K) по К, даже при К = Кс- Основной причиной этого
являлась надежда, что на вычисление К\ - даже если это вычисление
провести невозможно - влияют только спины, находящиеся в непосредственном
соседстве с блоком п. Неана-
45
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
литичность в точке Кс может возникнуть только для тех величин, для
которых существенно влияние всей решетки.
Предположение Каданова сводится, таким образом, к утверждению
существования аналитической функции f(K), такой, что
= (2.23)
К каким следствиям это приведет для величин, определяющих критическое
поведение? Во-первых, должно выполняться соотношение
Kc = f(Ke), (2.24)
так что величина E[f(Kc)] бесконечна. Во-вторых, предположим, что К
