Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
Если мы начертим зависимость от температуры спонтанной намагниченности
ферромагнетика, намагниченности одной из подрешеток антиферромагнетика
или намагниченности в модели ызинга, то получится кривая, сходная с той,
которая изображена на фиг. 2.1. Ниже критической температуры Тс начинает
возникать спонтанная намагниченность, а при нулевой температуре она
достигает некоторой конечной величины. В малой области температур ниже
критической температуры намагниченность хорошо аппроксимируется степенным
законом:
М~{Те-Т)", (2.1)
34
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
где р - частный пример критического показателя. Теории критического
поведения посвящены главным образом предсказанию величин таких
критических показателей или, по крайней мере, установлению соотношений
между ними ').
Характерный для критического поведения параметр - корреляционная длина,
которую мы ввели ранее. Рассмотрим два
спина (один в узле п, а другой в начале координат) и определим
корреляционную функцию
где (...) означает суммирование по всем конфигурациям спинов.
Корреляционная функция Гя обладает тем свойством, что при Т > Тс быстро
уменьшается с ростом \п\ (см. кривую 1
на фиг. 2.2). Полагают, что асимптотическое поведение при больших |"|
описывается формулой
I) Весьма подробно и всесторонне критические показатели обсуждены в
работах [16, 99, 102]. -Прим. ред.
М
Фиг. 2.1. Кривая зависимости намагниченности ферромагнетика от
температуры.
Тс-критическая температура.
(S"SQ exp (- tf/fef)) ln~ (exp (-H/kT))
(2.2)
Г,
П
I
Фнг. 2.2. Зависимость спин-спиновой корреляционной функции от расстояния
между
узлами.
Кривая / - случай Г > Гу, кривая 2-случай Г < Тс.
II 1 I I I I I I >
I
П
(2.3)
2*
35
ГЛАВА 2
где 1(Т) - корреляционная длина. [Существуют различные способы
определения корреляционной длины, причем неочевидно, что качественное
определение, данное в гл. 1 (см., в частности, обсуждение на стр. 15),
согласуется с точным определением (2.3). В действительности они не всегда
будут согласовываться, однако для модели Изинга при температурах выше Тс
они, насколько известно, фактически согласуются.] К сожалению,,
справедливость формулы (2.3) из-за сложности системы не доказана.
Ожидается, что при Т < Тс корреляционная функция с ростом |п| стремится к
квадрату спонтанной намагниченности (кривая 2 на фиг. 2.2). Другими
Фиг. 2.3. Зависимость корреляционной функции при критической температуре
Т = Тс от расстояния между узлами.
словами, при больших |п| корреляция в действительности исчезает, а то,
что остается, есть просто произведение средних значений отдельных спинов.
При критической температуре корреляционная функция для больших |"|
спадает до нуля, поскольку спонтанная намагниченность отсутствует. Однако
она спадает очень медленно (фиг. 2.3), так как мы находимся в точке
фазового перехода. Полагают, что при Те корреляционная функция спадает
как степень |"|, и обычно представляют ее в виде
Гя~ |n|d-2+Ti • (2.4)
где d - размерность системы. Известно, что для размерности 2 выражение
(2.4) будет правильной формулой для корреляционной функции [97]. Однако в
трехмерном случае это утверждение является только догадкой. Величина ц -
второй критический показатель.
Можно также рассмотреть корреляционную длину %{Т). Величина 1(7)
определяет масштаб изменения корреляционной функции, когда Т выше Тс. Как
показано на фиг. 2.4, кор-
36
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
реляционная длина |(Г) стремится к бесконечности, когда Т -> Тс сверху:
1(Т)^(Т-ТС)~\ (2.5)
Подобная кривая имеется также для магнитной восприимчивости:
дМ /г>
* = <2-6>
последняя вблизи критической температуры ведет себя как
%~{Т-Те)~\ (2.7)
Аналогично удельная теплоемкость (при постоянном объеме) С" определяется
вблизи критической температуры критическим показателем а:
CV~(T -- Тс)~а. (2.8)
В табл. 2.1 мы включили как экспериментальные, так и
теоретические значения различных критических показате-
Фиг. 2.4. Зависимость корреляционной длины от температуры.
лей '). Теоретические предсказания основаны на теории среднего поля
(Ландау), которая будет изложена ниже, двухмерной модели Изинга, точно
разрешенной Онсагером, и трехмерной модели Изинга. В трехмерном случае
критические показатели вычислены приближенно с использованием
высокотемпературного разложения в модели Изинга, выполненного до очень
высокого порядка, причем для получения величины критических показателей
была использована техника аппро-ксимант Падё. Для соответствующих
термодинамических ве-
') См. также [16, 99, 102]. - Прим. ред.
37
ГЛАВА 2
личин это предполагает степенное поведение вблизи критической точки.
Данные взяты из экспериментов с ферромагнетиками, антиферромагнетиками,
из исследования переходов жидкость - газ, бинарных сплавов и
сверхтекучего гелия. В каждой системе обычно можно измерить один или два
критических показателя1). Таблица критических показателей приведена для
