Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
преобразование %
24
ВВЕДЕНИЕ
можно определить только тогда, когда решение задачи известно. Например,
Гелл-Манн и Лоу определяют т с помощью точного электронного пропагатора,
который неизвестен до тех пор, пока не решены уравнения квантовой
электродинамики. Таким образом, имеется ограниченная возможность
использования ренормализационной группы как инструмента для решения задач
и построения теории. Исследование модели нуклона (модель фиксированного
источника), в упрощенной форме, показало, что эта проблема снимается,
если допустить, что 3&1 содержит все возможные взаимодействия, а не
только одно или два [18] '). В таком случае довольно легко построить
примеры преобразования т, не решая всей задачи целиком (см. последующие
главы). Теперь, однако, приходится расплачиваться другой ценой: мы не
можем учесть влияние одновременно всех возможных взаимодействий, так как
их слишком много. Поэтому, если подход, основанный на ренормализационной
группе, используется в плане практических применений, приходится
учитывать только несколько доминирующих взаимодействий. Кроме них могут
быть многочисленные взаимодействия с малыми постоянными связи, вклад от
которых можно учесть методами теории возмущений. Это в точности
соответствует ситуации в модели фиксированного источника. Хотя все это
верно также и для примеров, обсуждаемых в последующих главах, однако в
общем случае может оказаться не обязательно справедливым.
Наиболее известные работы по ренормализационной группе мы упоминаем в § 2
данной главы.
Существуют, кроме того, и другие подходы к таким проблемам, как
критические явления. Мы специально упомянем бутстрапный подход Мигдала -
Полякова к критическим явлениям и теории поля [19-29] и формулировку
электродинамики, данную Джонсоном - Бейкером - Виллеем [30-32], поскольку
эти подходы иногда путают с методом, основанным на ренормализационной
группе. Ни в теории Мигдала - Полякова, ни в формулировке Джонсона -
Бейкера - Виллея нет преобразования, сходного с т; эти авторы не делают
по-
') На примере модели с фиксированным источником это означает (см. [18]),
что гамильтониан Ж\ содержит, кроме членов, квадратичных по операторам
рождения и уничтожения мезонов, члены с произвольно большим числом
операторов рождения и уничтожения мезонов. Эти дополнительные члены
взаимодействия аналогичны бесконечному ряду контрчленов в обычной теории
перенормировок (см. следующие главы). - Прим. перев.
25
ГЛАВА 1
пытки уменьшить число степеней свободы. Следовательно, их идеи не могут
рассматриваться как метод ренормализационной группы. Эти авторы вместо
сознательного сокращения числа степеней свободы надеются на то, что
бесконечную сумму диаграмм можно заменить некоторой суммируемой
подпоследовательностью. Дальнейшее разъяснение по этому поводу см. ниже.
Другим недавним достижением являются уравнения Кел-лена - Симанзика [33,
34]. Оказалось, что эти уравнения тесно связаны с исходной формулировкой
ренормализационной группы, данной Гелл-Манном и Лоу, и являются ценным
средством анализа поведения фейнмановских диаграмм на малых расстояниях
(см., например, работу [35]). В настоящее время уравнения Келлена -
Симанзика представляются слиш* ком формальными, чтобы их можно было
использовать практически вне теории возмущений. Они будут оставаться
таковыми до тех пор, пока не будут введены некоторые интуитивные
соображения, как это было сделано Кадановым, дополнившим
ренормализационную группу весьма наглядной схемой *).
§ 2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Проведем теперь кратко классификацию литературы по ренормализационной
группе. См. также дополнительный список литературы, который дан в конце
этой книги. Первыми перечислим работы по критическим явлениям.
Приближенная рекуррентная формула для ренормализационной группы получена
в работе [36], там же содержатся численные решения рекуррентной формулы
для случая модели Изинга. В случае модели Гейзенберга численное решение
нашли Гровер, Каданов и Вегнер [37]. В работе [38] Гровер численно решил
X - У-модель. Бейкер [39] и Дайсон [40] описали класс "иерархических"
моделей, для которых рекуррентная формула является точной. В работе [41]
Голнер предложил для рекуррентной формулы такой вид, который дает для
критического показателя ц ненулевое значение (rj определяется в гл. 2).
Кроме того, в работе [42] он для некоторого примера с тройной симметрией
нашел решение рекуррентной фор-
>) См., однако, работы [134, 136, 139] и особенно [60, 69]. -Прим. пе-
рев.
26
i
ВВЕДЕНИЕ
мулы. Метод е-разложения в окрестности размерности d = 4 развили Фишер и
Вильсон [43]. Полное обсуждение свойств подобия (скейлинга) с помощью
всего ряда теории возмущений в окрестности критической точки в рамках е-
разложения дал Вегнер [44]; Пфети и Фишер [45] исследовали этим методом
слабо анизотропную модель Гейзенберга. Ридель и .Вегнер [46] использовали
рекуррентную формулу для исследования тройных точек (таких веществ, как
