Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
находится в малой окрестности Кс, тогда приближенно можно написать
ПЮ = [(КС) + 1(К-КС), (2.25)
где X - dffdK в точке К = КС• Это означает, что
f{K)-Kc = m-Kc). (2.26)
Предположим теперь, что величина ЦК) для К, близких к Ко, ведет себя, как
(К - Kc)~v, тогда должно быть
1[ДЮ] Г f(*)-Kc)-v /997,
К К) X К-Кс ) ' 1' '
С учетом (2.23) и (2.26) отсюда получаем
Y = W~V> (2.28)
т. е. если бы можно было определить f'{Kc), то из уравнения (2.28) можно
было бы вычислить v:
v=Tjf. <2-м>
Например, если f(K) имеет явный вид: f(K)-2K, который был получен ранее,
тогда X будет равно 2, a v равно 1.
Из уравнения (2.26) не следует однозначно, что 1(К) при К~*Кс изменяется
по степенному закону; наиболее общий вид ЦК), согласующийся с (2.23) и
(2.26), есть
UK) = (K-Kcr" F[\n(K-Kc)}, (2.30)
где F(x)-периодическая функция х с периодом In Я. Оправданием этой
периодичности служит тот факт, что, если нам
47
ГЛАВА 2
известна |(/С), тогда известна также и I(/(i), где К\ - Кс - - Х(К- Кс)',
а умножение К-Кс на X эквивалентно трансляции In (К-Кс) на величину 1пХ.
Поскольку F - функция периодическая, поведение ЦК) не отличается
качественно от закона ЦК) ~ (К - Kc)~v-
Для более точного определения |(К) можно представить себе следующую
процедуру. Предположим, что |(/С) известно для К > 2Кс '). Для К > 2Ке
корреляционная длина | должна быть не очень велика и ее можно
относительно легко вычислить. Предположим теперь, что К лежит в области
Кс < К < < 2Кс¦ Построим последовательность эффективных постоянных связи
К и Ki и т. д., удовлетворяющих соотношению
Kn+l = f(Kn), ' (2.31)
где Ki = f(K). Формула Каданова приводит тогда к величине
UK) = 2nUKn). (2.32)
Это, в частности, означает, что для любой фиксированной величины К (> Кс)
можно выбрать такое большое п, что длина 1(Кп) будет достаточно мала, так
как Кп > 2Кс- Тогда длина 1(Кп) известна, а К К) определяется с помощью
(2.32). Конечно, это вычисление можно провести, если только известна
функция f(K).
Важным моментом в анализе Каданова является идея о том, что можно, исходя
из аналитической функции f(K), прийти в итоге к неаналитическому
поведению |(К) в точке Кс, в которой f(Kc)= Кс- Более того, для величины
v не получается определенного, не зависящего от f(K), значения; для
вычисления v необходимо знать функцию f(K)- Следовательно, v не обязано
иметь величину '/2, соответствующую приближению среднего поля. В
действительности величина v, вопреки представлениям некоторых физиков,
занимающихся статистической механикой, может быть числом иррациональным.
В следующих главах идея Каданова о существовании эффективных
взаимодействий спиновых блоков с постоянными связи, аналитическими по Т,
будет реализована в разных формах, причем все функции будут заданы явно.
Явно будут вычислены также такие критические показатели, как v и др.
') То есть в "ферромагнитной" области, которая соответствует температуре
Т <.Те - Прим. ред.
Глава 3
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ. ГАУССОВА МОДЕЛЬ
В этой главе, исходя из интуитивных идей Каданова, мы начнем получать
количественные результаты. Найдем выражение, связывающее исходное
взаимодействие и взаимодействие спиновых блоков, а для иллюстрации
используемых идей вычислим для некоторой тривиальной модели (гауссовой
модели) [86] критический показатель v. В этом случае показатель v = '/2,
т. е. имеет такую же величину, как в теории среднего поля.
Гауссову модель можно получить, модифицируя модель Изинга. Вначале
запишем статистическую сумму Изинга в интегральном виде, а именно:
00
*-П $мй-1)я'р('*?Е*а"')'Д.- (3-D
т - оо \ п t /
Это простая запись исходной статистической суммы. Представим теперь, что
происходит расплывание б-функции (фиг. 3.1, а) около sm - ± 1, так что
получается сначала плавное распределение (фиг. 3.1,6), а затем функция
распределения Гаусса (3.1, в). Конечно, распределение на фиг. 3.1, в
имеет лишь отдаленное сходство с распределением, соответствующим исходной
модели Изинга. Если мы тем не менее в статистической сумме (3.1) заменим
б-функцию на
exp (- -j bsl, то получим
+оо
Z = H S еХР (- Т bSm) еХР (К Z ? SnSn+i ) *ж, (3.2) т -со \ п i J
49
ГЛАВА 2
известна ЦК), тогда известна также и ?(/(i), гДе К\ - Кс ~ = Я(/С - Кс)',
а умножение К - Кс на Я эквивалентно трансляции In (/С - Кс) на величину
In Я. Поскольку F - функция периодическая, поведение ЦК) не отличается
качественно от закона |(Я) - (/С - Kc)~v-
Для более точного определения |(К) можно представить себе следующую
процедуру. Предположим, что 1(К) известно для К > 2Кс ')- Для К > 2Кс
корреляционная длина | должна быть не очень велика и ее можно
относительно легко вычислить. Предположим теперь, что К лежит в области
Кс < К < '< 2Кс• Построим последовательность эффективных постоянных связи
Ки Кг и т. д., удовлетворяющих соотношению
Kn+i = f(Kn), ' (2.31)
где К\ = f(K). Формула Каданова приводит тогда к величине
НК) = ГиКп). (2.32)
Это, в частности, означает, что для любой фиксированной величины К (> Кс)
