Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
того, чтобы проиллюстрировать идею (которая будет разъяснена в следующих
главах) о том, что теория среднего поля объясняет поведение систем с
размерностями больше 4 и что при d < 4 показатели непрерывно зависят от
Фиг. 2.5. Зависимость критического показателя у от размерности физической
системы.
параметра размерности. Для этого можно отложить на графике величины
критических показателей в зависимости от размерности системы и построить
гладкую интерполирующую кривую между различными значениями размерности.
На фиг. 2.5 представлена такая зависимость для показателя у. Полученная
кривая имеет разрыв производной для размерности 4 и является гладкой во
всех остальных точках.
') Недавно в лаборатории И. Р. Кричевского (ГИАП) Л. А. Макаревич и Д. Ю.
Иванов провели прецизионные (Я, У, Г)-измерения перехода жидкость- пар
для SF6, что позволило определить критические показатели: б, у, Р [16,
99, 102]. При этом удалось добиться рекордной точности по всем параметрам
(р - рс, р - рс, Г - Тс), так, например, промерить области т= |1-Тс/Т\ ^
10-4 Интересной особенностью результатов этих измерений является
стремление критических показателей б, р, у к значениям, предсказываемым
теорией среднего поля при Т-*-Тс, р рп соответственно. (В области
изменения параметров, промеренных в ранних экспериментах, результаты
которых приведены в табл. 2.1, упомянутые результаты Л. А. Макаревича и
Д. Ю. Иванова хорошо согласуются с ними). Такое "сглаживание" поведения
термодинамических величин в критической области можно попытаться
объяснить в первую очередь эффектом гравитации [140]. - Прим. ред.
38
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
Мы сосредоточим свое внимание в первую очередь на показателях г], v и у>
которые описывают поведение системы при критической температуре или чуть
выше нее, когда внешнее поле отсутствует. Мы не будем работать в
двухфазной области, хотя, возможно, это более интересно; все основные
проблемы хорошо видны в области температур выше Те.
§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
Различные теории критических явлений характеризуются так называемым
"поиском аналитической структуры"1). Написанные нами формулы, подобные
формуле (2.1) для спонтанной намагниченности, являются неаналитическими
при критической температуре. В действительности в этом нет ничего
необычного, однако довольно трудно увидеть, как возникает такое
неаналитическое поведение, если исходить, например, из первоначальной
формулировки модели Изинга. Напомним, что термодинамические функции
вычисляются из статистической суммы:
До тех пор пока число спинов N конечно, Z является аналитической функцией
К. Ясно, что такая система не может обнаруживать критического поведения.
Однако стоит нам только рассмотреть термодинамический предел спиновой
системы, заполняющей все пространство, как аналитичность более не
гарантируется. Поскольку объем системы V стремится к бесконечности,
становятся также неограниченными различные суммы. Однако неаналитическое
поведение, которое мы хотим здесь обнаружить, обычно маскируется этими
эффектами большого объема. Таким образом, в то время как неаналитичность
в принципе возможна, из таких выражений, как (2.9), очень трудно
практически получить правильное неаналитическое поведение. Описать
критическое поведение пытаются тогда через аналитические функции в
надежде, что аналитические функции с помощью доступных методов можно
') Как станет ясно из дальнейшего, авторы под этим понимают необходимость
сформулировать аналитический аппарат, позволяющий описать неаналитическое
поведение термодинамических величин в критической точке. - Прим. ред.
39
ГЛАВА 2
получить более легко. Различные теории, следовательно, можно
характеризовать соответствующим выбором аналитических функций, с помощью
которых они описывают критические явления. Это и есть "поиск
аналитической структуры". Мы обсудим эту проблему на двух уровнях: во-
первых, на примере теории среднего поля, которая оперирует с очень
простой аналитической структурой, и, во-вторых, на примере собственно
ренормализационной группы.
1. Теория среднего поля
Одним из результатов теории среднего поля является существование
термодинамической функции, которая анали-тична по своим аргументам в
критической точке Тс. А именно, магнитное поле В есть аналитическая
функция удельной намагниченности М и температуры. Это предполагает
справедливость гипотезы Ландау [111] о том, что термодинамические
свойства системы должны выводиться из свободной энергии G, которая
является аналитической функцией МиГ. Тогда поле В определяется выражением
В~ТШ G(M, Т). (2Л0)
Какие следствия получаются из этого подхода? Вблизи Тс, где
намагниченность М мала, мы можем для энергии G воспользоваться
разложением Тейлора по степеням М:
G (М, T) = Gc(T) + r(T)M2 + u(T)M*+ ... . (2.11)
Здесь М - удельная намагниченность (намагниченность на один спин). В
разложении появляются только четные степени М, поскольку модель Изинга
