Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вильсон К. -> "Ренормализованная группа и epsilon-разложение" -> 8

Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.

Вильсон К. , Когут Дж. Ренормализованная группа и epsilon-разложение — Стройиздат, 1975. — 270 c.
Скачать (прямая ссылка): renormalizovannayagruppa1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 90 >> Следующая

Если у нас имеется преобразование т, которое многократно повторяется, то
простейший результат, получаемый в этом случае, заключается в том, что
последовательность Ж1 сходится к неподвижной точке преобразования т, а
именно, к взаимодействию Ж*, удовлетворяющему уравнению:
Именно это и будет происходить в примерах, рассматриваемых в последующих
главах.
Наличие неподвижной точки является свойством только самого преобразования
т, т. е. чтобы найти возможные неподвижные точки (гамильтонианы Ж*),
необходимо решить уравнение для неподвижной точки (1.2). Это уравнение не
имеет никакого отношения к выбору исходного гамильтониана Жй.
х(Ж0)=^Жх, т (Ж,) = Ж2, т{Ж,) = Жз,
(1.1)
(1.2)
20
ВВЕДЕНИЕ
Возможные типы кооперативного поведения системы при описании их методом
ренормализационной группы определяются возможными неподвижными точками Ж*
преобразования т. Предположим, например, что имеются три неподвижные
точки: Жл, Ж*в и Же- Тогда у нас могли бы быть три возможных типа
кооперативного поведения. Если некоторая конкретная система имеет
начальное взаимодействие Ж о,, то необходимо построить последовательность
Ж\, Жч и т. д., чтобы найти, которая из точек, Ж*А, Ж*в или Ж*с, - предел
этой последовательности. Если этим пределом будет Ж*А, то
кооперативное поведение системы, причиной которого является
взаимодействие Жй, будет определяться Ж*А. В этом
примере множество всех возможных начальных взаимодействий Жо можно было
бы разбить на три подмножества (называемые "областями"), по одному для
каждой неподвижной точки. Универсальность имеет место теперь отдельно для
каждой области. Дальнейшее обсуждение этого вопроса содержится в гл. 12.
Описанные рассуждения поясняют, каким образом в рамках метода
ренормализационной группы выводится некоторая форма универсальности. Она,
однако, не так отчетлива, как предыдущие формулировки [9]. Опыт
исследования точно решаемых примеров преобразования ренормализационной
группы для случая критических явлений показывает, что обычно это
преобразование имеет несколько неподвижных точек, поэтому на множестве
исходных гамильтонианов нужно определить области, связанные с каждой
неподвижной точкой, и только внутри данной области критическое поведение
действительно не будет зависеть от начального взаимодействия.
Мы не можем требовать a priori, чтобы последовательность Жг сходилась к
неподвижной точке при / -> оо. В принципе эта последовательность при
больших I могла бы образовать предельный цикл, проявить эргодическое или
турбулентное поведение; в таких случаях было бы трудно выполнить большую
часть необходимых вычислений. Для знакомства с эргодическим и
турбулентным поведением см. работу [10]. Однако даже если
последовательность Жь сходится к неподвижной точке, маловероятно, что Жп
при больших п является гладкой функцией параметров, входящих в Ж о.
Трудность здесь заключается в том, что малые изменения параметров,
входящих в Ж о, увеличиваются или уменьшаются под
21
ГЛАВА 1
действием преобразования т, а Когда т применяется многократно, это
усиление или ослабление становится очень большим (на основании аргументов
теории случайных блужданий полагают обычно, что оно порядка ]Лп). Таким
образом, если п0-постоянная взаимодействия, входящая в Ж§, то можно, по-
видимому, ожидать, что существуют большие области изменения п0, эффект от
которых при преобразовании уменьшается (Жп очень слабо зависит от и0);
эти большие области разделены малыми областями изменения и0, эффект от
которых при преобразовании увеличивается (Жп очень быстро изменяется,
если uq варьировать внутри выделенной области)1). В случае когда все
последовательности сходятся к неподвижным точкам, области изменения и0,
для которых налицо эффект усиления, включают такие значения "о, для
которых Жо находится вблизи границы между двумя областями устойчивости, в
то время как эффект ослабления возможен лишь тогда, когда Жо находится
достаточно далеко внутри какой-нибудь определенной области устойчивости.
Перечислим кратко основные идеи метода ренормализационной группы.
Во-первых, построение последовательности эффективных локальных
взаимодействий Жь Это означает, что если параметр пространственного
разбиения степеней свободы в Ж\ равен ai, то взаимодействия должны были
бы иметь радиус щ, а не выбирая затем щ+i - 2аи можно было бы из Ж1
построить Ж1+1, рассматривая области размером порядка аг+ь а не
Во-вторых, существование преобразования т, которое многократно
повторяется для построения Ж1 из Жо, эквивалентно предположению, что
свойства Ж1 при больших I будут либо полностью, либо в большой степени
определяться самим йреобразованием т, а не Жо\ тем самым мы приходим к
универсальности, по крайней мере в ее ограниченной форме. '
Чтобы закончить это введение, кратко обрисуем историю метода
ренормализационной группы. Этот обзор не является полным и, вероятно, не
совсем точен. В конце 30-х годов Ландау [11] предложил гидродинамический
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 90 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed