Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
по степеням 1 /IV, вычислили уравнение состояния. Разложение по 1/N,
вероятно, не приносит особой пользы для случаев, представляющих
наибольший физический интерес, т. е. для случаев N - 1, 2, 3. Причиной,
по-видимому, является то, что знаменатели в е-разложении (справедливом
для любых N) имеют вид N + 8 (см. гл. 8), а это наводит на мысль, что
разложение по 1 /N справедливо только для N > 8. Однако исследование
моделей с большими N поучительно само по себе. Приложение разложения по 1
/N к полевым теориям с размерностью пространства-времени, меньшей
четырех, обсуждается в работе [84].
Имеется особая ситуация, когда проблема большого числа степеней свободы
внутри области, размеры которой порядка корреляционной длины, тривиальна,
а именно, теория свободного поля (в квантовой теории поля) или гауссова
модель (в статистической механике) (см. гл. 3). Эти теории тривиальны,
так как взаимодействие может быть диагонализо-вано в импульсном
пространстве. Существует множество диаграммных методов для исследования
малых возмущений, рассматриваемых в этих тривиальных теориях. В случае
критических явлений разложение по е делает возможным проведение успешных
вычислений методами теории возмущений. В настоящее время имеется
приводящее в замешательство множество методов для построения е-
разложения. Кроме методов, обсуждаемых в этой книге, Ди Кастро [62]
использовал старые методы Гелл-Манна и Доу, а Мак [29] - подход Мигдала -
Полякова. В настоящей книге особое внимание обращено на новый метод
ренормализационной группы из-за его
29
ГЛАВА 1
возможностей при рассмотрении проблем, которые нельзя исследовать
методами теории возмущений (см. [36, 63] и гл. 12 и 13). В частности,
отметим, что в задачах, которые нельзя свести к нескольким диаграммам,
безнадежно что-либо вычислить, используя теорию Гелл-Манна и Лоу. Даже
для решения принципиальных вопросов теория Гелл-Манна и Лоу не является
удовлетворительной, так как она включает в себя предположения, которые
мотивированы техническими, а не физическими потребностями [76]. Трудно
поверить, что эти предположения всегда справедливы, хотя оказывается, что
они верны в каждом порядке диаграммного разложения (см., например, [76]).
Бутстрап Мигдала - Полякова (с предположением конформной инвариантности)
более интересен, хотя не очень полезен в том случае, когда важно учесть
вклад многих диаграмм. Для теоретиков, изучающих поле, интересной и
необычной особенностью бутстрапа Мигдала - Полякова является "унитарность
по струям", предложенная Поляковым [73].
Следующие семь глав касаются в первую очередь критических явлений.
Отчасти это обусловлено тем, что критические явления - пример наиболее
успешного приложения метода ренормализационной группы. В то же время
критические явления представляют простейший и наиболее ясный пример
проблемы большого числа степеней свободы в области порядка корреляционной
длины. Эксперименты в этой области являются достаточно точными и
однозначными, что позволяет проверив фундаментальные аспекты теории. На-
пример, простейшая модель, такая, как модель Изинга, кроме основной
проблемы у^ета бесконечного радиуса корреляции, не содержит никаких
других осложняющих исследование обстоятельств. Изучение критических
явлений дает нам общее представление о проблеме большого числа степеней
свободы в корреляционной области, которое невозможно получить каким-либо
другим путем и которое весьма существенно для понимания теоретико-полевых
приложений ренормализационной группы, обсуждаемых в гл. 9-13.
Существуют прекрасные обзоры экспериментов и всей предшествующей теории
критических явлений (см. гл. 2); настоящая же книга будет посвящена в
основном объяснению метода ренормализационной группы. Эту книгу можно
читать без предварительной подготовки в области критических явлений, так
как вполне достаточные для этого сведения будут
30
ВВЕДЕНИЕ
изложены по мере надобности, однако здесь не будет обсуж" даться детально
отношение метода ренормализационной группы к эксперименту и
предшествующей теории.
Главы 11-13 также важны для проблем статистической механики, однако
главное внимание, начиная с гл. 9, уделяется квантовой теории поля. Эти
главы в значительной степени основаны на результатах предыдущих глав. Они
являются частью из серии работ [76, 94], рассматривающих метод
ренормализационной группы как альтернативу канонической формулировки
теории поля. Конечной целью является разработка полевой теории сильных
взаимодействий. Для достижения этой цели все еще требуется значительная
перестройка как основ теории, так и техники вычислений. При изучении
метода ренормализационной группы возникли в качестве побочного продукта
некоторые полезные идеи, которые позволили найти более феноменологические
подходы к теории сильных взаимодействий [94, 95]. Специалисты в области
элементарных частиц, ознакомившиеся с основными идеями этой книги,
обнаружат, что за последнее время предприняты значительные усилия, чтобы
