Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
обладает симметрией относительно отражений. Магнитное поле (2.10) в этом
случае определяется выражением
В = 2г(Г)М + 4ц(Г)М3+ ... . (2.12)
Если мы ограничимся рассмотрением членов, пропорциональных М и М3, и
предположим, что и > 0 (так что магнитное* поле растет при увеличении
М), то столкнемся с двумя возможными случаями. Если г > 0, то
свободная энергия G как
функция М будет иметь один минимум (фиг. 2.6, а). Если г С 0, то
свободная энергия G может иметь два различных минимума, соответствующих
отличным от нуля намагничен-
40
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
ностям (фиг. 2.6,6), и, следовательно, три локальных экстремума,
отвечающих 6 = 0. Однако система выбирает состояние с минимальной
энергией, которое соответствует, согласно фиг. 2.6, б, состоянию с
ненулевой намагниченностью. Мы видим, что случаю г > 0 отвечает Т > Тс,
когда спонтанная на-
а
Фиг. 2.6. Зависимость свободной энергии от намагниченности для некоторых
возможных значений параметра г. а) г > 0; б) г < 0.
магниченность отсутствует, в то время как случай г < 0 означает, что Т <
Тс.
Продолжая далее работать с этими допущениями об аналитической структуре,
мы можем получить некоторые из критических показателей. Очевидно, что
г(Тс)-0, в то время как и(Тс) достигает некоторой определенной величины.
Следующий этап состоит в предположении, что для Т в окрестности Тс
г{Т)~{Т- Тс). (2.13)
Тогда при В = 0 из (2.12) следует
м = V - WF * - т)*• (2Л4)
41
ГЛАВА 2
откуда мы устанавливаем величину первого критического показателя:
е=4-
Если Т > Тс, тогда для намагниченности, близкой к нулю,
В
М~ 2г(Т) ¦
Из этого соотношения мы находим восприимчивость:
(2.15) ю,
(2.16)
%
1
(Т-Те)
-1.
(2.17)
2 г(Т)
далее мы определяем другой критический показатель у:
у = 1. (2.18)
Распространяя эти идеи на случай полей, зависящих от координат, можно
найти величины показателей v и т] '). Получаем v = '/г и г) = 0.
К сожалению, теория среднего поля, как это видно из табл. 2.1,
недостаточно хорошо предсказывает величины критических показателей.
Например, надежные эксперименты с жидкостями в такой малой области (Г -
Тс)/Тс, как 10-5, дают для р величину р 0,35 ± 0,01 [98], а согласно
предсказанию теории среднего поля, имеем (3 = 0,5.
Таблица 2.1
Критические показатели Эксперимент Теория среднего поля Трехмерная модель
Изинга Двухмерная модель Изинга
Р 00 со о 1 со о '/2 0,31 0,125
л 0-0,1 0 0,056 0,25
V 0,6-0,7 '/2 0,64 1,0
Y 1,2-1,4 1 1,25 1,75
а 0-0,1 0 0,12 0
Теория среднего поля, однако, дает очень простую и ясную картину
критического поведения. И, хотя ее предсказания не являются очень
точными, они в то же время не являются и
') Весьма просто корреляционные эффекты в рамках теории среднего поля
обсуждены в работе. [16], см. также работы В. Л. Гинзбурга и А: П.
Леванюка [141-143]. - Прим. перев.
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
очень плохими. В нашем последующем описании критических показателей
результаты теории среднего поля будут выступать как приближения нулевого
порядка. Систематическое разложение по размерности системы позволит
нам_§атем получить более точные результаты.
2. Теория Каданова
Теперь обратимся к обсуждению второго примера и рассмотрим картину
Каданова в окрестности критической точки [15]. Основным результатом
построения Каданова является установление связей между критическими
показателями, которые ранее были угаданы с помощью почти эвристических
аргументов (см. [97-102]). Здесь мы не будем обсуждать эти соотношения. В
первую очередь рассмотрим вопрос о том, каким образом выбираются
аналитические структуры и как, начав с аналитических функций, мы получаем
критические сингулярности.
При изложении построения Каданова мы допускаем значительное своеволие. В
последующих абзацах излагается сущность его идей, однако детали его
работы будут в значительной степени искажены.
Каданов подробно занимался проблемой дальних корреляций в окрестности Тс.
Прямой расчет критического поведения требует рассмотрения (как минимума)
всех спинов в объеме размерами порядка корреляционной длины - это
безнадежная задача. В противоположность этому вдали от Тс, где
корреляционная длина мала, необходимо рассматривать одновременно только
несколько спинов. Для решения таких проблем пригодна стандартная техника,
например метод диаграмм Фейнмана и теория возмущений.
Каданов высказал блестящую идею, позволяющую безнадежную проблему учета
дальних корреляций заменить задачей, в которой учитываются только близкие
корреляции. Для простоты разъясним эту идею на примере плоской решетки.
Рассмотрим малую область, содержащую, скажем, 4 спина. Поскольку
корреляционная длина (радиус корреляции) в окрестности критической
температуры очень велика, все спины в таком маленьком блоке должны будут
сильно коррелировать. Каданов предположил, что 4 спина так сильно
скоррелированы, что в одном блоке имеется только два возможных состояния:
