Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Для перехода к вещественным уравнениям положим
Ajk= I A,h | exp(i*№), (18.13)
где индексы j и k указывают номера волновых пакетов и парциальных волн соответственно, и введем величины
Ф/« = *0/—*1А—*21 (18-14)
И
Дю/fci =®о/ — ®ift — ш2г, (18.15)
где
®/k = ©(k/k), (18.16)
kj& — центральные волновые векторы парциальных волн, удовлетворяющие условию согласования
ко/ — klfe + k2i. (18.17)
Обозначив ренормированные амплитуды |ЛЗЙ| как щь, получим следующую систему уравнений [4]:
дщ»
dt
= — 2cos (Ф;-г + A(0/hli); (18.18a)
ki
-- = 2 COS (Ф/к, + Awikit); (18.186)
it
= 2 uoiuih cos (Фjki + Дю/aiQ; (18.18b)
jk
^007 "V1 UlkU2l
y_Mff!Lsin((I) +д a t). (18л8г)
dt ki
^ = y V!Lsin(0 +ДCO *); (18.18Д)
* it u lh
JhL = V Jfsin((D + дш f). (18.18e)
d/ ^
Эта система записана в предположении, что знаки коэффициентов связи для Щ)лн из пакета 0 (эти волны составляют пакет с наибольшей частотой) противоположны знакам коэффициентов связи волн, принадлежащих пакетам 1 и 2.
143
Отметим, что суммы в правых частях (18.18) содержат произведения амплитуд всех парциальных волн, удовлетворяющих условию (18.17). Поэтому структура связи может в определенной степени зависеть от способа разбиения пакетов на парциальные волны. В связи с этим напомним, что согласно результатам гл. 9 влияние расстройки частоты на взаимодействие имеет пороговый характер в той области, где величина, обратная расстройке частоты, сравнима с характерным временем взаимодействия. Если расстройка меньше некоторого порогового значения, то сила связи изменяется незначительно. Но при Лео, превышающих пороговое значение, взаимодействие резко ослабляется [5—7]. Поэтому в первом приближении можно не учитывать влияние расстройки Асощ на взаимодействие тех волн, для которых она меньше порогового значения, и опустить уравнения, в которых Acojы превышает пороговое значение, получив тем самым систему типа
(18.18) с A(Ojftz = 0.
Для того чтобы найти интегралы движения и сравнить их с интегралами движения, полученными в приближении случайных фаз, введем следующее определение интенсивности волнового пакета:
г, = ^и%. О8-19)
k
Такое определение согласуется с тем фактом, что соотношение (18.6) выполняется только для отдельных парциальных волн, но не для пакета в целом. На основе (18.18) получим
= + 2 ^ uoiuiku2i cos Фдг, (18.20)
jkl
где знак «минус» соответствует пакету 0 и суммирование проводится по всем волнам, участвующим во взаимодействии. Таким образом, сумма одна и та же для всех 1п (п — 0, 1, 2), что приводит к соотношениям Мэнли—Роу
= h -/* = М8. (18.21)
Эти соотношения имеют тот же вид, что и в приближении случайных фаз. Введя еще сумму 2 получим сохраняю-
k
щуюся величину, соответствующую энергии взаимодействия [4]:
2 uojulhu2l sin <Djhl = Г, (18.22)
jkt
где суммирование снова проводится по всем волнам, дающим неисчезающий вклад во взаимодействие.
Закон сохранения (18.22) указывает на определенную степень корреляции между фазами взаимодействующих волн и поэтому не имеет места в приближении случайных фаз. Существенно,_ что
эти корреляции , могут сохраняться на протяжении всего времени
взаимодействия. Заметим также, что вид законов сохранения
(18.21) и (18.22) не зависит от способа разбиения пакетов на парциальные волны.
144
Сравнение с когерентным трехволновым взаимодействием
Как видно из системы уравнений (18.18), при малых временах когерентности (т. е. при относительно широких частотных спектрах взаимодействующих волн) число степеней свободы системы возрастает. Напомним, что трехволновая система описывается уравнениями
Возвращаясь к описанию взаимодействия волновых пакетов, определим величины
Здесь п — число связей, т. е. число слагаемых в суммах (18.20) и (18.22).
В соответствии с (18.23а) знак производной амплитуды определяется фазой Ф, а соотношение (18.236) указывает на то, что знак производной фазы изменяется в момент прохождения интенсивностями уровней, соответствующих приближению случайных фаз. Отсюда следует, что интенсивности должны испытывать колебания относительно этих уровней. Амплитуда этих колебаний, однако, ни при каких обстоятельствах не уменьшается, т. е. интенсивности не выходят на уровень, соответствующий приближению случайных фаз. Тем не менее из (18.27) видно, что в частично когерентном взаимодействии интенсивности в среднем также имеют тенденцию к колебаниям около уровней, характерных для приближения случайных фаз, но взаимодействие в этом случае слабее, чем при наличии когерентности. Взаимодействие оказывается особенно слабым, если слагаемые правой части (18.20) стремятся к нулю. Для этого необходимо, чтобы множители cos Ф^г имели случайный характер и не коррелировали с произведением амплитуд UojU\hU2i. Колебания интенсивностей около
