Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
132
ко их влияние может оказаться значительным в тех областях, где первая производная относительно мала. Кроме того, не следует упускать из вида, что введение высших производных влечет за собой введение новых начальных условий, т. е. в конечном счете появление дополнительных степеней свободы.
На рис. 17.1 представлено численное решение задачи о взаимодействии волн с положительной и отрицательной энергиями в условиях стабилизации взрывной неустойчивости за счет нелинейного сдвига частоты. Обращает на себя внимание характерная осцилля-торная структура решения вблизи минимумов невозмущенного решения и заметное различие максимальных значений амплитуд. Из
(17.5) видно, что дисперсионные эффекты второго порядка могут как усиливать, так и ослаблять стабилизирующее действие нелинейного сдвига частоты. В последнем случае система может оставаться неустойчивой даже при учете сдвига частоты (рис. 17.2),
Рис. 17.1. Взаимодействие между волнами с положительной и отрицательной энергиями (бо=—0,005; б, = —0,01; 62=—0,02; $jh =
=—0,03)
Рис. 17.2. Развитие взрывной неустойчивости при взаимодействии волн с энергиями различных знаков
(60=— 0,01; 6i = 62=0,0n
Pit =—0,05)
133
если величина б3- удовлетворяет условиям sign 60=sign и
sign р= — sign 6S (/=1,2).
Влияние начальных условий
Наиболее типичным проявлением дисперсионных эффектов второго порядка служат быстрые осцилляции (см. рис. 17.1). Они обусловлены наличием дополнительных степеней свободы и часто могут быть подавлены при надлежащем выборе начальных условий.
Так как рассматриваемые осцилляции хорошо проявляются в основном вблизи минимумов невозмущенных решений, для их изучения достаточно решить следующую систему уравнений:
Первый из этих интегралов отвечает закону сохранения волновой энергии, второй — закону сохранения энергии взаимодействия.
Выражение (17.9) описывает осцилляции с частотой coz>j=l/6j и фазой которая определяется начальными условиями.
Не следует, конечно, забывать, что из-за наличия связанных слагаемых система (17.8) не является точной. Тем не менее формула (17.9) удовлетворительно описывает процесс взаимодействия вблизи минимумов невозмущенных решений, в чем легко убедиться путем сравнения с результатами численного анализа. Это означает, что величины Mj и Г3 можно рассматривать как постоянные в течение характерного времени осцилляций. При значительных вариациях невозмущенных величин необходимо учитывать временную зависимость Aj и Bj. Фаза ipj изменяется только при сильных изменениях невозмущенного решения. Наконец, временная зависимость величин Mj и Г3 определяется уравнениями
dMj/dt = + sj2ufjiJu2 собФ;
duj/dt — б7 [iijd2cf>j/dt2 + 2 (дф//д?) duj/dt] = 0;
бф-Jdt -f- 8/ [(1 /Uj) d2Uj/dt2 — (дф//д^2] = 0. Эта система имеет интегралы движения
(17.7)
(17.8)
Исключая Фj из (17.8), получаем решение для «, = «/: tij = Aj sin [(1 /б;) t + t|j7] + Bj,
(17.9)
где
Aj == 2 V 2Гj8j (2Гj8j + Щ ; Bj = 4ГД + Mj. (17.10)
(17.11
134
Временная эволюция осцилляций
В течение.времени развития и стабилизации неустойчивости величины Mj и Г;- могут, конечно, очень сильно изменяться. Так,, энергия волны Mj, пройдя через максимум, возвращается к первоначальному значению. Но энергия самосогласованного взаимодействия Г,- продолжает изменяться, что указывает на существование механизма обмена энергией между крупномасштабным процессом временной эволюции и мелкомасштабными осцилляциями. Направление передачи энергии определяется фазой осцилляций в окрестности максимума. В условиях решения, показанного на рис. 17.1, эффективная энергия взаимодействия ГЭф, соответствующая крупномасштабному процессу, убывает, что сказывается на эволюции фазы. Следует напомнить, что к уменьшению ГЭф приводит также учет диссипации (см. гл. 15).
Резонансное взаимодействие осцилляций
Из-за наличия осцилляций правые части (17.11) могут быть неисчезающе малыми даже в окрестностях минимумов невозмущенных решений. Если амплитуды различных волн колеблются с одинаковой частотой, то их произведение дает стационарный (резонансный) вклад в Г^. При этом полная энергия самосогласованного взаимодействия 2 sj^i должна сохраняться (это
/
действительно выполняется вследствие обмена энергией между осцилляциями). Отсюда вытекает, что если знаки Sjdj для всех взаимодействующих волн не одинаковы, то амплитуды осцилляций этих волн могут увеличиваться одновременно (рис. 17.3). В противном случае нарастания нет (рис. 17.4).
Такая картина аналогична взрывной неустойчивости в системе трех связанных волн во всех отношениях, за исключением того, что здесь не важно, какая именно из волн имеет отрицательную энергию осцилляций. Весьма частному случаю равенства знаков энергий осцилляций соответствует решение солитонного типа (рис. 17.5), когда все амплитуды равны, а полная энергия взаимодействия обращается в нуль (ср. с гл. 14).
