Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
duj/dt = + 2и0и1и2 соэФ; дФ/dt = Г (щ2 — иу2 — U22),
(18.23а)
(18.236)
где
Г = ийихи2 sin Ф.
(18.24)
/_дФ}_\ \ dt /
г2 dmik = Л ik dt /:
(18.25)
и
/ дФjki \ _ / дф0 \ _ / дфг \ ______________________X дф.
\ dt / \ dt / \ dt / \ dt
\
/
(18.26)
Используя (18.20), получаем
dlj/dt = + 2п (u0julku2l cosOyft!>;
(18.27)
где
Г = п (uojulhu2l sin Ф/ьг>.
(18.28)
145
уровней, соответствующих приближению случайных фаз, обусловлены усредненным изменением Фjki. В то же время по мере развития взаимодействия фазы все более перемешиваются, что приводит к ослаблению взаимодействия и к постепенному приближению их интенсивностей к уровню, характерному для приближения случайных фаз. Следует, однако, иметь в виду, что в силу соотношения (18.28) всегда существует некоторая конечная ам-.плитудно-фазовая корреляция, и поэтому по прошествии некоторого времени тенденция выхода на уровень, соответствующий .приближению случайных фаз, ослабляется, а затем и совсем утрачивается.
Возможность описания частично когерентной системы с помощью соотношений (18.27) означает, что некоторую информацию о такой системе можно получить непосредственно на основе знания свойств соответствующей когерентной системы. Такой путь был использован в работе [8] при рассмотрении влияния частотного уширения линий и связанной с таким уширением неопределенности фаз на неустойчивую систему взрывного типа, а также в работе [9] при исследовании влияния эволюции неопределенности фаз на фазу конкретной волны в системе со стабилизацией взрывной неустойчивости за счет нелинейного сдвига частоты третьего порядка.
Отметим, что поведение стабилизированной системы взрывного типа имеет тот же периодический характер, что и в устойчивой -системе, рассматриваемой в настоящей главе. Разброс фаз какой-либо одной волны из этой системы за характерное время взаимодействия передается двум другим волнам. В результате возникают колебания разброса фаз, которые в конечном счете приводят к равнораспределению фаз между взаимодействующими волнами. Это подтверждается и численным решением системы типа
(18.18).
Усредненные уравнения (18.27) описывают колебания относительно уровня случайных фаз. Для того чтобы исследовать приближение к этому уровню, необходимо более детальное описание. Продолжая аналогию с когерентным взаимодействием, заметим, что в выражение для потенциальной функции я входит величина Г2, возрастанию которой соответствует уменьшение осцилляций амплитуды (см. гл. 9). В связи с этим представляет интерес изучение величины
Б г/ = Z! [ § Vi*!sin ф^]2.
которая анализируется численным методом в последнем разделе настоящей главы.
Второе выражение (18.27) можно обобщить на случай, когда нельзя пренебрегать влиянием рассогласованных слагаемых в связанных уравнениях на среднее значение производной фазы по времени. Для учета этого влияния необходимо обобщить интеграл
446
движения Г. В качестве отправной точки используем гамильтониан системы
н = + 2 uoiuik“2i sin 0дь (18.29)
где
®/h! = ®о/ ®1й ®2!>
“ ®/h^ "Ь (18.30)
При наличии рассогласования полная волновая энергия
ik
9
X не сохраняется и необходимо найти новый способ разбиения Н на две постоянные части. Это можно сделать, вводя сдвинутые частоты со jk так, чтобы выполнялось соотношение
®о/ = ®lft + ®2/'
Тогда получим
= a'jk + AoV’ Ati)jhi = j — A®i h — Д®2/.
Нетрудно проверить, что
W' = 2<o'jku% (18.31)
jk
является интегралом движения, а это дает основание определить величину
Г = у 2 А®Ли% + 2 “oy“ift“2* sinQihl, (18.32)
jk iki
которая и представляет собой искомое обобщение интеграла движения Г.
Теперь можно найти величину (dQjhi/dty. Действуя так же, как при расчете (дФ^г/дО из (18.26), и используя при этом (18.30) и (18.32), находим
/ ае/ \ = _1_ V и2 dQJk _ _J_
\ dt / 13 2* ik dt ij
и
<^> - <ли>+(r-i|лш^) а- т -1)' (,8-зз)
где <Дсо> = <со0> — <(0,) — <со2>; <соу> = (Щ) J]и* юл.
k
В предположении, что центральные частоты полностью согласованы, величина (Асо) мала. При этом тенденция к осцилляциям около уровня случайных фаз сохраняется. При больших (Лсо> взаимодействие будет испытывать усреднение того же типа, что и при наличии когерентности.
147
Уширение и распад волны накачки при проникновении в плазму
Численный анализ системы (18.18) мы проведем для случая, представляющего особый интерес в связи с проблемой взаимодействия лазерного излучения с плазмой. Предположим, что волна с максимальной частотой представляет собой лазерную волну большой амплитуды, проникающую в плазму, где имеются плазменные или ионно-звуковые волны шумового характера. Отметим, что при решении такой задачи в качестве независимой переменной следовало бы использовать пространственную координату, но существо решения от этого не изменяется.
