Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Задачи
(со — kVjy) (со — kVb — iv)
Re о)о — Re o)i + Re (02i ko — ki-\-k2t
130
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ostberg К. Dissertation. Chalmers Univ. of Technology, Goteborg, 1973.
2. Clemmov P. C., Dougherty J. P. Electrodynamics of Particles and Plasmas. Lond., Addison Wesley, 1969.
3. Ott E. —Phys. Fluids, 1971, v. 14, p. 442.
4. Tsytovich V. N., Wilhelmsson H. — Phys. Scripta, 1973, v. 7, p. 251.
5. Wilhelmsson H. — J. Plasma Phys., 1969, v. 3, p. 215.
6. Stenflo L.—Ibid., v. 12, p. 509.
7. Fried B. D., Conte S. D. The Plasma Dispersion Function. N. Y., Academic Press, 1961.
8. Bohmer H., Chang J., Raether M. — Plasma Phys., 1969, v. 11, p. 645.
9. Birdsall С. K-, Brewer G. R., Haeff A. V. — Proc. IRE, 1953, v. 41, p. 865.
10. Musha Т., Agu M. — J. Phys. Soc. Jap., 1969, v. 26, p. 541.
11. Stenflo L., Wilhelmsson H., Ostberg K- — Phys. Scripta, 1971, v. 3, p. 231.
12. Hopman H. J. — Stanford Rep. SU-IPR 402, 1970.
13. Harris E. G. Thermonuclear Division Annual Progress Rep., Oak Ridge Nat. Lab., 1976.
14. Liu C. S., Aamodt R. E. — Phys. Rev. Lett., 1976, v. 36, p. 95.
15. Nakamura S. — J. Phys. Soc. Jap., 1977, v. 42, p. 280.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Wilhelmsson H. — Phys. Scripta, 1970, v. 2, p. 113.
ГЛАВА 17
ДИСПЕРСИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Настоящая глава посвящена исследованию эффектов, связанных с учетом вторых производных дисперсионных функций по частоте. Сформулированы уравнения движения для амплитуд и фаз взаимодействующих волн и найдены интегралы движения, содержащие дисперсионные слагаемые второго порядка. Наличие таких слагаемых приводит к наложению дополнительных быстрых осцилляций на обычные нелинейные решения. Определен период этих колебаний и показано, что их амплитуды могут при определенных условиях увеличиваться в результате нелинейного взаимодействия. Особенностью этого процесса является то, что нарастание возможно как при разных, так и при одинаковых знаках энергий взаимодействующих волн.
Дисперсионные осцилляции, которые выглядят как своеобразная «рябь» на обычных нелинейных зависимостях, вносят элемент неопределенности в эволюцию амплитуд и фаз и могут поэтому интерпретироваться как результат индетерминированности начальных условий (см. также гл. 18).
Постановка задачи
Как отмечалось в гл. 5, общее динамическое уравнение для пространственно-однородного электрического поля имеет вид
3D, д i &Ю, д*
где Dj=Dj(со, k)—дисперсионная функция плазмы; N.L. — сумма резонансных нелинейных слагаемых.
Следует заметить, что во многих работах учитывается только первая производная в (17.1). Как правило, это связано с тем, что значение производных быстро убывает с увеличением их порядка. В некоторых случаях, однако, dDj/dсо мало [1, 2] и вторая производная оказывается доминирующей. Более того, даже тогда, когда d2Dj/d со2 мало по сравнению с dDj/d со, могут быть реализованы такие условия, при выполнении которых членами второго порядка пренебрегать нельзя. Поэтому возникает задача построения теории нелинейного взаимодействия волн с учетом дисперсионных эффектов второго порядка [3, 4].
Вводя величину
_1_ dPDj/duP
2 dDjlda>
и основываясь на уравнениях типа (17.1), можно получить следующие уравнения движения:
дФj duj
S,= —
(17.2)
дф j dt
да1 6,- ui d20j - + 2
dt 1 dP
6..Г 1 52 Uj ¦¦¦( dф j
' L Uj dP \ dt
dt
dt
Sjukui cos Ф; (17.3a)
+ si S P jhU\ = s,
UhUl
sin®. (17.36)
Знак «минус» в (17.3a) соответствует волне 0, иижний — волнам
1 и 2. Множитель Sj определяет, как и ранее, зиак энергии волны /, a Pjft = Sj Re ctjk (ср. с гл. 14).
Из уравнений (17.3) следует, что рассматриваемая трехволновая система имеет интегралы движения
1 —¦ 26„
1—26,
d-Ф о dt
dt
uauLu2 sin Ф--------—2 sfij
) + W? d<t>
1 — 26,
1 - 26,
St' \ = *»M;
J
) = Mls;
dt
dф
dt
(17.4)
dt / ч
duj
df
--rSM
/fe
2.ul = Г.
(17.5)
При выводе (17.5) использована симметричность матрицы которая вытекает из условия сохранения энергии взаимодействия. Соотношения (17.4) имеют смысл обобщенных соотношений Мэнли — Роу и выражают закон сохранения энергии волнового движения. При учете дисперсионных эффектов второго порядка эта энергия определяется соотношением
<ГЛ = — (1 — 26, ‘ (17.6)
' 4 Зш \ dt j
Качественный анализ решения
Можно ожидать, что при малых 63- дисперсионные эффекты второго порядка в целом слабо возмущают решение с 6j = 0. Одна-
