Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Учет затухания
Можно ожидать, что в силу условия l/6j^>Vj затухание не будет влиять на общую картину нелинейного взаимодействия с учетом дисперсионных эффектов второго порядка. Численный анализ показывает, что это действительно так (рис. 17.6). Решение, представленное на рис. 17.6, соответствует случаю, когда осцилляции имеют нерезонансный характер и возбуждаются в окрестности первого максимума.
135
Рис. 17.3. Резонансное нарастание амплитуды колебаний яри взаимодействии волн с энергиями различных знаков 0,01; = = —0,05)
О 1 2 t
Рис. 17.4. Решение для случая трех взаимодействующих волн с энергиями различных зна-
ков (бо —0,01, dj = d2 = = —0,01; 0,05),
указывающее на воз-
можность устранения осцилляций с помощью такого подбора параметров, при котором энергии осцилляций всех
трех волн приобретают одинаковый знак
Рис. 17.5. Решение солитонного типа для системы трех взаимодействующих волн с энергиями различных знаков при равенстве всех начальных амплитуд (Г= = 0; 60 = 0,01; д! = б2= =—0,01; 0,05)
Волны с энергией одного знака
Характерное проявление дисперсионных эффектов второго порядка сохраняется и тогда, когда все три взаимодействующие волны имеют энергии одинакового знака. Это хорошо иллюстрируется рис. 17.7, который соответствует резонансно нарастающим осцилляциям.
Предельный случай малых б5
Представляет интерес поведение осцилляций в пределе 6j->0. Пренебрегая крупномасштабными колебаниями в (17.9), получаем
(dn,/dt) = (1/6;) V28,ri(28jrj + Mj) cos [(l/б,) t + %].
Учитывая, что при 6j->0 Tj — 6j, перепишем это соотношение в виде
136
drij/dt = У(Щ) Г,М, cos [(1/6,) t + %].
Рис. 17.6. Взаимодействие волн с энергиями различных знаков при наличии линейного затухания (60=—0,005; б,=—0,01; 62=—0,02; 0,03;
Vq=0,05; Vi = 0,l; v2=0,2)
Рис. 17.7. Взаимодействие волн с энергиями одного знака (6о= =—0,005; 6i = 0,005; 62=—0,005; pJft = 0)
Отсюда следует, что амплитуда drij/dt не обязательно стремится к нулю вместе с 6 j, так как Tj/dj пропорционально производным осциллирующих величин. Таким образом, существует возможность получения конечных амплитуд drij/dt при 65->0, т. е. мы приходим к одной из разновидностей релаксационных колебаний [5].
Обсуждение результатов
Как мы убедились, учет дисперсионных эффектов второго порядка приводит к возникновению дополнительных осцилляций амплитуд и фаз взаимодействующих волн. Факт появления этих осцилляций не зависит от взаимодействия волн, так как их возбуждение обусловлено дополнительными начальными условиями, связанными с учетом вторых производных. Взаимодействие волн, однако, может оказывать сильное влияние на осцилляции, если амплитуды и фазы волн изменяются с частотой того же порядка, что и частота осцилляций, или если осцилляции имеют резонансный характер.
137
Интересно, что даже при малых 8, дисперсионные эффекты второго порядка не обязательно пренебрежимо малы. В связи с этим возникает вопрос о законности пренебрежения дисперсионными эффектами третьего и более высоких порядков. Ответить на этот вопрос, вообще говоря, очень трудно. В принципе ясно, что при учете эффектов более высокого порядка появляются новые временные масштабы [примерно l/6<fe> для эффекта (&+1)-го порядка]. Каждый новый порядок означает появление новой степени срободы. Поэтому кажется очень естественным предположить, что при учете очередного дисперсионного слагаемого на решение низшего порядка будут накладываться осцилляции с частотой l/6(h). Подбирая начальные условия надлежащим образом, можно добиться того, что амплитуды осцилляций всех порядков, кроме второго, будут пренебрежимо малыми. В таком случае влиянием дисперсионных эффектов высшего порядка можно пренебречь.
Однако, для того чтобы убедиться, что ряд (17.1) действительно сходится в каком-либо частном случае, необходимо вычислить все члены разложения, а это представляет собой задачу огромной трудности. Отметим лишь, что частота осцилляций ащ, соответствующая учету дисперсионных слагаемых второго порядка, должна принадлежать области сходимости разложения <17.1).
Дисперсионные эффекты второго порядка важны не только потому, что способны существенно влиять на эволюцию амплитуд и фаз взаимодействующих волн, они представляют интерес также и в чисто теоретическом плане. Дело в том, что при учете осцилляций амплитуды и фазы волн становятся менее определенными. Но этой неопределенности должна соответствовать большая определенность энергии волны (17.6), которая не может осциллировать. Поэтому самосогласованная часть энергии взаимодействия Г;- играет роль некоторого в принципе неустранимого минимума энергии, который лишь незначительно изменяется при взаимодействии волн.
Задачи
