Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вильхельмссон Х. -> "Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме" -> 65

Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.

Вильхельмссон Х., Вейланд Я. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме — М.: Энергоиздат, 1977. — 229 c.
Скачать (прямая ссылка): kogerentnoenelineynoevzaimodeystvie1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 107 >> Следующая


= Г укк'Ли_кЛк, ехр [iAco (к') /] dk', (18.4)

dt J

где Ukk' — коэффициент связи, зависящий от к и к', и

Дсо(к') = со (к — к') + <о(к') — ® (к). (18.5)

Уравнение (18.4) составляет основу для описания взаимодействия трех волновых пакетов в первом нелинейном порядке.

140
Предположим, что Лк , Ак—к' и Ак> относятся к различным волновым пакетам. Тогда уравнение (18.4) будет описывать влияние двух различных фурье-компонент из двух пакетов на временную эволюцию фурье-компоненты из третьего пакета. В принципе это уравнение пригодно для описания как малых, так и больших Дсо (к). Однако существенный вклад во взаимодействие дают только те участки спектра по к', для которых Дсо мало. Для реализации когерентного поведения волновых пакетов в течение времени взаимодействия их частотный спектр должен удовлетворять соотношению

бсо/^л/t0, (18.6)

тде to — характерное время взаимодействия. Если это действительно так, то можно считать, что все волны, составляющие пакет, имеют одинаковую частоту. Тогда проинтегрируем (18.4) по

Рис. 18.1. Расщепление волнового пакета на парциальные волны (а) и начальное возбуждение парциальных волн (б)

к и к', пренебрегая при этом изменением Дсо (для простоты будем считать постоянным также Ukk'):

dAjdt = v ' ALA2 ехр (iAco/), (18.7)

K0KQ

где

A0 = jAkdk; A1 = fAk-k'd(k-.k'); A2 = fAk>dk'. (18.8)

Интегрирование в (18.8) проводится по той части каждого из пакетов, которая дает вклад во взаимодействие.

Аналогично можно получить два других уравнения типа

(18.7), а тем самым и всю систему связанных уравнений, описывающую взаимодействие волновых пакетов в рассматриваемом приближении. Условие когерентности выражается в том, что при интегрировании по волновым пакетам рассогласование частот Доз предполагается постоянным. Если это условие не выполняется ¦для всей области взаимодействия, то ее можно разбить на подобласти, в пределах которых Дсо постоянно (рис. 18.1, а). Интегрирование по подобласти I волнового пакета к приводит к понятию амплитуды парциальной волны Аи (здесь индекс k ука-

141
зывает на принадлежность определенному волновому пакету, т. е. не волновое число). Уравнения движения для этих амплитуд записываются в виде

= У, vk\,AikAi ехр (iAco^iO- (18.9)

и к 1

При этом центральные волновые векторы парциальных волн удовлетворяют соотношениям

ко/ = ^1* + k2i.

Проблема взаимодействия в последнем случае значительно усложняется, так как для ее рассмотрения требуется решение системы уравнений типа (18.9) для всех парциальных волн. Условие когерентности удовлетворяется теперь только на уровне взаимодействия парциальных волн, но не на уровне взаимодействия волновых пакетов в целом, которое приобретает частично когерентный характер.

Отметим, что из-за наличия в правой части (18.9) слагаемых, содержащих расстройку частоты Дсо^г, амплитуды в общем случае осциллируют во времени. При большом числе парциальных волн со случайными фазами осциллирующие слагаемые компенсируют друг друга, и ненулевой вклад во взаимодействие дают лишь слагаемые с малыми Ды. В подобной ситуации взаимодействие является слабым, а его характерное время, наоборот, большим, что позволяет усреднить динамические уравнения по фазам [1] и получить тем самым уравнения для полных интенсивностей волновых пакетов (или чисел квантов). Эти уравнения известны как уравнения приближения случайных фаз и здесь рассматриваться не будут. Для сравнения, однако, полезно напомнить, что в таком приближении интенсивности волн с одинаковыми знаками энергии стремятся к стационарным значениям, удовлетворяющим соотношению

1//0=1//1+1//2, (18.10)

где Ij — интенсивность пакета /, а индекс 0 соответствует пакету с максимальной частотой. Интенсивности Ij удовлетворяют также соотношениям Мэнли—Роу

h + h = М01; Ii — 1% = М12. (18.11)

Уравнения и интегралы движения для системы трех волновых пакетов

Для более детального изучения взаимодействия трех волновых пакетов целесообразно преобразовать общую систему (18.9), записанную в .комплексной форме, к системе уравнений относительно выбранных подходящим образом вещественных величин. При таком преобразовании будем предполагать, что волно-

142
йые пакеты достаточно хорошо локализованы в к-пространстве, так что выполняется условие

I Ak I « | к | . (18.12)

Если (18.12) удовлетворяется, то коэффициенты связи, зависящие

от к и и очень мало изменяются в пределах волновых паке-

тов. Пренебрегая этим изменением, мы будем считать все коэффициенты связи в уравнениях типа (18.9) постоянными и одинаковыми. Тогда естественно использовать такую нормировку (см. гл. 7), при которой эти коэффициенты равны единице.
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 107 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed