Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы решить (18.18), прежде всего необходимо определить число волн в каждом пакете и структуру связи. Число волн выберем равным четырем (анализ для восьми волн не приводит к каким-либо новым особенностям), а структуру связи зададим резонансным условием (18.17) для центральных волновых векторов каждого пакета. Разрешение по волновым векторам между соседними парциальными волнами, вообще говоря, зависит от относительной ширины их спектров. Поскольку эти величины можно выбрать произвольным образом, предположим, что все парциальные волны имеют спектры одинаковой ширины и, следовательно, разрешение по волновым числам постоянно. Предположим также, что центральные парциальные волны каждого из трех пакетов полностью согласованы (в пакете с четным числом волн центральной считается та из двух волн, которая имеет большее волновое число k).
Качественный вид начального возбуждения показан на рис. 18.1,6. В результате связи между сильно возбужденной волной .«02 и парами волн «12, «22; Щ\, и2з и «13, и21 амплитуды плазменных волн начинают нарастать, что приводит в дальнейшем к уши-рению спектра волны из пакета 0 из-за связи с боковой волной .«01. Это происходит при временах порядка времени ослабления амплитуды волны накачки «02- Полное представление о временной эволюции интенсивностей дает рис. 18.2, который соответствует такому случаю, когда фазы волн из пакетов 1 и 2 изменяются линейно в интервале от 0 до 2л, фазы волны из пакета 0 заключены в интервале от 0 до я/2, а начальные интенсивности 1\ и /2 равны [в силу соотношения (18.21) это равенство не нарушается в течение всего времени взаимодействия].
Для исследования эволюции фаз Фjk введем усредненную фазу
<*/> = 7-2 «?**/*• <18-34>
1 i
Здесь согласно нашему выбору 0-С 2я и уширение фазы
Щ = (1/Л) 2 и% I <Pik - <*/> I . (18.35)
где | Фи — (Ф,У | < п.
Предположим, что в ситуации, которой соответствует рис. 18.2, разброс фаз волн из пакетов 1 и 2 близок к 1,5, а разброс фаз
148
Рис. 18.2. Результаты численного анализа системы (18.18), полученные при выборе в каждом пакете четырех парциальных волн с начальными амплитудами uoj = 0,l (/=й= 2), Uq2—6, Uij = «2j = 0,2 в предположении, что фазы Ф\н и Фц изменяются линейно в интервале от 0 до 2я и 0^<бо.)^я/2. Пунктирными линиями показан уровень интенсивности, рассчитанный в приближении случайных
фаз при Г «0,62
болн из пакета 0 первоначально очень мал. Тогда за время распада волны накачки разброс фаз волн из пакета 0 быстро увеличивается и затем осциллирует случайным образом (рис. 18.3).
Рис. 18.3. Эволюция разброса фаз в случае, соответствующем рис. 18.2
Отметим, что приближению случайных фаз соответствует значение
Ьф j = я/2. (18.36)
149
В промежутке между временем распада t\ и временем t2, при котором начинается выход на уровень случайных фаз, существует область симметричных осцилляций. В ней возбуждены все парциальные волны и наблюдается большой разброс фаз.
При t>t\ сильная корреляция между произведениями амплитуд u0juiku2i и множителем cos Фдо ослабляется, в результате чего интенсивности стремятся к уровням, соответствующим приближению случайных фаз. Характер этого процесса, вообще говоря, зависит от значения интеграла движения (в рассмотренном выше случае Г = —0,62). При малых значениях Г влияние интенсивностей на усредненную производную фазы также мало, тогда как при больших |Г| системе присущи сильные корреляции, которые приводят к тому, что фазы испытывают сильные осцилляции на протяжении длительного времени. Однако в промежутке между t\ и t2 характер осцилляций практически не зависит от Г при изменении этой величины в очень широких пределах.
Зависимость от Г изучали с помощью изменения начального уровня возбуждения пакетов 1 и 2 при сохранении уровня возбуждения пакета 0 и всех начальных фаз. В результате было показано, что характер осцилляций, как и разность t2—tь остается почти неизменным до тех пор, пока Г имеет тот же порядок величины, что и М\—10—/1 (I2 = h). Интересно сравнить этот результат с результатом для когерентного взаимодействия, когда корни потенциальной функции л(х) очень мало изменяются при изменении Г, если Г<СМ. В частности, очень мало зависит от Г периодичность процесса, так как она определяется разностью корней полинома п(х). При начальных условиях, используемых в рассматриваемых машинных экспериментах, начальное значение Г2 близко к величине
5] Г/ = Г wo/^i*w2i sin Фум 1 ,
/ i l ki J
временная эволюция которой показана на рис. 18.4. При t>t2 величина ^]Г/ сильно увеличивается, что соответствует выходу
на уровень, характерный для приближения случайных фаз.
