Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
17.1. Пусть амплитуда Л<г> имеет вид, установленный при решении задачи 5.4. Найти условие, при выполнении которого взаимодействие можно считать слабонелинейным.
17.2. Вывести выражение (17.6) для энергии поля с учетом дисперсионных эффектов второго порядка.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Tsytovich V. N., Wilhelmsson Н. — Phys. Scripta, 1973, v. 7, p. 251.
2. Ott E. —Phys. Fluids, 1971, v. 14, p. 442.
3 Askne J., Dysthe К. B„ Gudmestad О. Т., Weiland J., Wilhelmsson H. — Phys.
Lett., 1974, v. 48A, p. 21.
4. Weiland J. — Phys Scripta, 1975, v. 11, p. 294.
5. Minorsky N. Nonlinear Oscillations. Princeton, Van Nostrand, 1962.
138
ГЛАВА 18
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН С КОНЕЧНОЙ ШИРИНОЙ
СПЕКТРА
В ПРОСТРАНСТВЕ ВОЛНОВЫХ ВЕКТОРОВ
При оценке области применимости теории когерентного взаимодействия волн¦ неизбежно возникает вопрос фундаментального характера: как сильно зависят результаты этой теории от учета конечной ширины спектра взаимодействующих волн? Для ответа на этот вопрос требуется, вообще говоря, привлечение теории взаимодействия частично когерентных волн.
В этой главе предпринимается попытка изучения свойств такой общей системы на основе рассмотрения взаимодействия волновых пакетов, каждый из которых расщепляется на конечное число узких субпакетов, когерентно взаимодействующих с субпакетами других пакетов.
В результате такого рассмотрения показано, что при частично когерентном взаимодействии интенсивности «в среднем» осциллируют около уровней, определяемых в приближении случайных фаз. Более того, наблюдается общая тенденция ослабления взаимодействия при отклонении от когерентного состояния.
Анализ машинных экспериментов указывает на то, что вследствие нелинейного взаимодействия разброс фаз различных пакетов осциллирует и в среднем возрастает. Начальный разбаланс между фазами трех взаимодействующих волн (если таковой имеется) по прошествии некоторого времени сглаживается, так как фазы равномерно распределяются по пакетам в полном соответствии с предсказаниями теории.
Волновые пакеты
Ограничимся рассмотрением волновых пакетов с незначительной шириной спектра в пространстве волновых векторов. Можно предполагать, что в этом случае система связанных волн будет иметь такой же вид, как и при рассмотрении волн типа уединенных фурье-компонент в fe-пространстве, т. е. монохроматических волн [1].
Следует отметить, что подобная идеализация возможна только при рассмотрении неограниченной пространственно-однородной среды, когда амплитуды взаимодействующих волн изменяются во времени, но не в пространстве. Но даже в такой среде волны обычно имеют конечные спектры по k, а взаимодействие между волнами приводит к уширению этих спектров. Конечность спектра в fe-пространстве означает немонохроматичность волны. Поле такой волны (или волнового пакета) естественно представить в виде суперпозиции монохроматических волн:
Ё (г, t) = J Ek ехр {i [и (к) t — кг]} dk, (18.1)
где и (к) определяется дисперсионным уравнением.
139
Время когерентности
Вследствие конечности спектра по со поле волнового пакета по истечении некоторого характеристического времени т будет заметно отличаться от соответствующего монохроматического поля. Это время можно оценить следующим образом. Предположим, что в начальный момент фазы всех компонент Ек в (18.1) одинаковы, и обозначим т время, за которое различие между фазами волн с минимальной и максимальной частотами пакета достигнет я. Тогда
т = я/6сй, (18-2)
где бсо — ширина частотного спектра.
Время т, определяемое выражением (18.2), будем называть временем когерентности. С помощью соотношения
бсо та (да>/дк) 6к
его можно связать также с шириной спектра в ^-пространстве:
т ir/[(dco/dk) 6k]. (18.3)
При временах, больших т, фазы различных волн, образующих пакет, уже нельзя считать хорошо определенными, а при временах, значительно превышающих время когерентности, волновой пакет следует рассматривать как пакет со случайными фазами [1]. Математическое ожидание амплитуды такого пакета равно нулю. Напротив, при временах, много меньших времени когерентности, волновой пакет ведет себя как монохроматическая волна (пакет с когерентными фазами).
Таким образом, характер волнового пакета зависит от времени измерения или от характеристического времени физического процесса, в котором принимает участие рассматриваемый волновой пакет. Взаимодействие пакетов со случайными фазами существенно отличается [1—3] от взаимодействия когерентных пакетов. Ниже рассмотрен промежуточный случай.
Взаимодействие волновых пакетов
При конечной ширине спектра точное резонансное условие для волновых векторов произвольно выбранных волн из трех пакетов не выполняется. Из общей процедуры вывода уравнений связанных волн (см. гл. 3) и теоремы о свертке ясно, что уравнение для фурье-компоненты Л к должно иметь вид
