Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
«о (0 = «01sn2 («oi/«o2)'/2];
«i(0 = Ша(0 — п0 (0;
«2 (0 = т1 (0 — «0 Ю-
(12.15)
Здесь «01 и п02 (tioi<tio2) — корни уравнения
(mi — «о) (т2 —п0) = 0,
(12.16)
т. е.
«22» t ^ /q,
tTl^y t tg,
или с учетом (12.11) и (12.13)
«01 =
М2 exp [— (v0 + vx) t], t < tQ\ Mza exp ]— (v0 + v2) t], t>t0.
81
0,6
04
1/\ЛЛлл/v~
Рис. 12.1. Численное решение системы (12.1) при v0=0,04 и Vi = ==V2=0 (амплитуда с наибольшим начальным значением не затухает и остается максимальной в течение всего процесса взаимодействия (а); обобщенные интегралы движения mi и т2, соответствующие численным результатам, приведенным на рис. 12.1, а (осциллирующие кривые), и результатам, полученным аналитически (гладкие кривые) (б); зависимость относительного значения периода осцилляций от времени для результатов, соответствующих рис. 12.1, а (аналитические и численные результаты изображены сплошной и пунктирной линиями соответственно) (s)
В
.аналитическими и точными результатами для т\ увеличивается в •окрестности to-
Решение для одной затухающей волны
Другой подход к проблеме учета затухания при трехволновом взаимодействии предложен в работе [2] в связи с рассмотрением частного случая одной затухающей волны. К нему приводит идеализация довольно обычной ситуации, когда волна с наименьшей
частотой затухает значительно сильнее остальных волн. Предпо-
лагается, что Г = 0, т. е. sincD = 0, и используется такая нормировка, при которой исходная система уравнений имеет вид
dujd t — — utu2\ (12.17а)
dujdt = ы0ы2; (12.176)
dujdt + ри2 = u0uv . (12.17в)
«2
0,8
Рис. 12.2. Численное решение системы (12.1) при vo=Vi = 0 и v2=0,04 (затухающая амплитуда^ имеет максимальное начальное значение; хорошо видна переходная область, в которой rt2~rti) (а); обобщенные интегралы движения mi и т2, соответствующие численным результатам, приведенным на рис. 12.2, а (осциллирующие кривые), и результатам, полученным аналитически (гладкие кривые). Для интеграла т2 обе кривые совпадают (б); зависимость относительного значения периода осцилляций от времени для
результатов, соответствующих рис. 12.2, а (аналитические и численные результаты показаны сплошной и пунктирной линиями соответственно). При т1 = т2 аналитическое значение периода обращается в бесконечность (в)
'(XXiQQC*!______
100 t
Сумма Ир -f- и2 по-прежнему является интегралом движения, причем в силу выбранной нормировки и2-\- и2 — 1. Поэтому можно ввести функцию г|>(0> такУю. что
и0 = sin iJj; «1 = cosij5. (12.18)
Тогда при
u2 = —d\p/dt (12.19)
(12.17а) и (12.176) выполняются автоматически, а уравнение (12.17в) можно переписать в виде
d2y/dt2 + рду/dt -f sin у = 0, (12.20)
где y = 2ip. Полагая и2(0)=0, получаем начальные условия для (12..20):
#(0) = 2arcsinw0(0); dy(Q)/dt = 0. (12.21)
Уравнение (12.20) есть не что иное, как уравнение нелинейных колебаний маятника с затуханием, и поэтому его решение
83
ше выражается в известных функциях. Но при р = 0 решение этого уравнения имеет хорошо известный вид
Быберем начальные условия так, чтобы Ыг(0) равнялось нулю и амплитуда и2 на начальной стадии процесса увеличивалась. При таком выборе Ф = К(k) и окончательное решение для незатухающих колебаний приобретает вид
м0 = k sn (t -f К, k)\ ux = dn(/ + K, k)', u2 = — kcn(t + K, k). (12.23)
В силу (12.23)' амплитуды Uj подчиняются соотношениям и20 -j-и\—\\ и20-\-u\=k2, и0(0)= k. Если k мало, т. е. u0(0)<Cui (0), то лолучаем приближение слабой нелинейности. В этом случае эллиптические функции можно заменить тригонометрическими.
Если же k не мало, то процесс взаимодействия на начальной стадии имеет сильнонелинейный характер. Однако оказывается, ¦что при учете затухания такой процесс постепенно выйдет на слабонелинейный режим. Более того [3], при р<2 амплитуда у будет совершать затухающие колебания, а при р>2 — монотонно уменьшаться до нуля. Наличие такого предельного значения р следует сравнить с достаточным условием для осуществления направленного переноса энергии, найденным в работе [4] на основе более общего рассмотрения.
В слабонелинейном приближении уравнение (12.20) упрощается:
у = 2 arcsin [k sn (t -f ф, k)\,
(12.22)
<c помощью которого находим
u2 = — (1/2) dy/dt = — k cn (t -f ф, k).
d2y/dt2 + p dy/dt + у = 0.
(12.24)
Это уравнение имеет следующие точные решения: р<2, тогда
