Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Задачи
9.1. Сформулировать условия получения стационарного решения для потенциальной функции (см. рис. 9.1) при Дш = Г = 0.
9.2. Рассмотреть случай «j(0)=«2(0), Дш = 0, Г2^0. Какой тип энергии соответствует Г2^0?
9.3. Обобщить решение (9.18) на случай, когда все волны имеют одинаковый коэффициент затухания v.
9.4. Вместо того чтобы выражать все амплитуды через переменную х, можно , выразить их через какую-либо одну амплитуду. В предположении, что
и0 "Ь М1 = Мох и Uq -)- «2 = Мог а) найти потенциал я («о) Для случая Дш = 0 и s=—1; б) выразить модуль k эллиптической функции для s=—1 через корни а^а^а3 уравнения л («д) = 0.
3* 67
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Armstrong J. A., Bloembergen N., Duelling J., Pershan P. S. — Phys. Rev., 1962, v. 15, p. 1918.
2. Engelmann F., Wilhelmsson H. — Z. Naturforsch., 1969, Bd 24a, S. 206.
3. Coppi B., Rosenbluth M. N., Sudan R. N. — Ann. Phys., 1969, v. 55, p. 207.
4. Wilhelmsson H., Stenflo^L., Engelmann F. — J. Math. Phys., 1970, v. 11,
p. 1738.
5. Ostberg K. Dissertation. Goteborg, Chalmers Univ. of Technology, 19/3.
6. Sturrok P. A. — Phys. Rev. Lett., 1966, v. 16, p. 270.
7. Wilhelmsson H., Ostberg K- — Phys. Scripta, 1970, v. 1, p. 267.
8. Poincare H. — J. math., 1881, v. 3, p. 7.
9. Minorsky N. Nonlinear Oscillations. Princeton, Van Nostrand, 1962.
10. Bers А., Каир D. J., Reiman A. H. — Phys. Rev. Lett., 1976, v. 37, p. 182.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Wilhelmsson H., Watanabe М., Nishikawa K. Theory for Space-Time Evolution of Explosive-Type Instability. — Phys. Lett., 1977, v. 60A, p. 311.
Chu F. Y. E., Karney C. F. Solution of Three-Wave Resonant Equations with One Wave Heavily Damped. — Phys. Fluids, 1977, v. 20, p. 1728.
ГЛАВА 10
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ТРЕХ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ
ВОЛН
Устойчивость недиссипативной системы определяется, как мы убедились выше, соотношением знаков вещественных коэффициентов связи. При учете диссипации эти коэффициенты становятся комплексными, причем отклонение от вещественных значений описывается фазовыми углами 0ы. Замечательно, однако, что эти углы фигурируют в исходной системе (7.3) только в комбинации с динамическим фазовым углом Ф. Основываясь на этом наблюдении, можно сформулировать общий критерий устойчивости диссипативной системы [1], значение которого особенно велико в связи с тем, что полное аналитическое решение системы связанных уравнений с произвольными углами 0i3- получить не удается.
В настоящей главе исследуются устойчивость нелинейной трехволновой системы и общий характер эволюции амплитуд Uj и фазы Ф в зависимости от значений фазовых углов Qfd. Затронута также проблема обобщения результатов на случай зависящих от времени коэффициентов связи и линейной диссипации. Кроме того, выведены интегралы движения для различных частных случаев диссипативных систем. Наконец, на примере системы плазма —• пучок показана инвариантность рассматриваемых физических явлений относительно выбора инерциальной системы отсчета.
Общие свойства решений системы уравнений связанных волн для стационарной среды
Как и в предыдущей главе, воспользуемся нормировкой (7.4), но при записи системы (7.3) не будем пренебрегать диссипацией. Тогда получим:
68
du0/dt -f VqUq = uxu2 cos (Ф -f 012); dujdt -f VjUj = utu2 cos (Ф -f 0O2); dujdt -f v2«2 = cos (Ф -f 0O1);
(10.1)
= дю __ JWi. sin (Ф + 0„) — sin (Ф + 0O2) —
Uq^?i_ 5{п (ф _|_ 0O1)_
Пытаясь определить условия, при которых возможны неустойчивые решения системы (10.1), прежде всего заметим, что необходимой предпосылкой для развития взрывной неустойчивости является наличие нелинейного нарастания. Но из системы (10.1) видно, что любая амплитуда будет увеличиваться вместе с парой других лишь при условии, что в произвольно заданный момент времени все 0г'з удовлетворяют неравенству cos (Ф+0г:) >0. Это означает, в свою очередь, что для развития взрывной неустойчивости необходимо, чтобы все вц принадлежали одной полуплоскости.
Заметим далее, что если все Ф+0^- лежат в правой полуплоскости, то <?Ф}dt уменьшается с увеличением Ф, причем это уменьшение имеет характер монотонного стремления к нулю, если и при дф/д^О величина Ф+0;3- все еще остается в правой полуплоскости. Такое поведение естественно ожидать при больших амплитудах, когда членами VjUj и Лю можно пренебречь.
Запишем теперь асимптотическое решение как
где fj(t)—функция, медленно меняющаяся по сравнению с 1/(*со—0 в окрестности t„с. Подставляя (10.2) в (10.1), получаем асимптотические значения fy.
Полагая еще дф/д(=0 в (10.1) и используя при этом (10.2) и
