Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
duj/dt + Vj (t) Uj = gkl (t) и*и, cos [Ф + 0W (()], (10.12)
(10.13)
где
gki®= I chl (t)/ckl (0) I .
При t—>oo эта система имеет асимптотическое решение
uj = fi (*)/(*» — 0.
причем
flit*°) = gTk (foo){COS[Ф(*») + 0/fc(fo.)] COS [Ф(и + 0/г (foo)]}-1. (10.14) все cos [Ф (/„) -f- 0г/ (^M)] > 0 и
ig [Ф (*») + 0i2 (*-)] + tg [Ф (f») + 0O2 (01 + tg [Ф (too) + 001 (/-)] = 0.
(10.15)
При vj(0=v(0. gij(t)=g(t) и 0jj = O (i, / = 0, 1, 2) можно получить также точное решение системы (10.12), так как с помощью подстановок
Uj = Uj exp j v (t') dt' ; (10.16)
t = Jexpj-j [v(t")+4(t")]dt"\df, (10.17)
0 I 0
72
где
Л (0 = — (d/d/)[lng(/)],
(10.18)
эта система приводится к стандартному виду для недиссипативнои среды с g(/) = l. Отсюда следует, в частности, что время развития неустойчивости too можно найти из соотношения
Т» = 7 ехр (—Г [V (П + Г] (/")] dt") dt', (10.19)
о ( о j
где too — время развития взрывной неустойчивости для недиссипативной системы с g(/) = l [ср. с (2.11)]. При увеличении v(t") и
Т] (t") величина tcо—>-оо, т. е. неустойчивый режим становится не-
возможным.
Преобразование инерциальных систем отсчета и проблема устойчивости трехволнового взаимодействия
Возвращаясь к случаю недиссипативной среды, напомним, что необходимым и достаточным условием существования неустойчивых решений системы (9.1) является положительность всех коэффициентов связи или, что то же самое, противоположность знака энергии волны с наибольшей частотой знакам энергий остальных волн. Покажем, что это условие не нарушается при преобразованиях инерциальных систем отсчета.
Рассмотрим в качестве примера систему плазма — пучок. В покоящейся системе координат диэлектрическая проницаемость такой системы имеет вид
е (и, k) = 1 — a?pJ<i? — o)2ft/(o) — kVbf, (10.20)
где coj,e и сорь — плазменные частоты стационарной и движущейся подсистем соответственно; Vb ¦— скорость движущейся подсистемы в выбранной системе отсчета. Если перейти к системе отсчета, движущейся относительно первоначальной системы со скоростью, параллельной скорости Vb, то плазма будет выглядеть как двухпотоковая система и вместо (10.20) получим
е(со, k) = — — — (10.21)
Энергия волны в этой системе
<Г> = (е0/4) (<5/<5со) (сое),
где
я яр 2<а_«, со 2а . со
— (есо)=со— =--------------^-----1-----^-----. (10.22)
да к ’ да (a — kVbif (a—kVbf v '
Общий вид функции (10.21) при фиксированном k>0 и положительных Vbt и Уьг показан на рис. 10.4. Корни 1 и 3 соответствуют волнам с отрицательной энергией, а 2 и 4 — волнам с положительной энергией. Согласно критерию взрывной неустойчивости,
73
в качестве волны с наибольшей частотой можно выбрать волну, соответствующую корню 3, тогда две другие волны должны соответствовать корню 2 (для простоты в дальнейшем будем писать волна 1, 2 и т. д. — Прим. перев.). Следует помнить, однако, что волны имеют разные волновые числа k и поэтому фактически им соответствуют разные диаграммы типа показанных на рис. 10.4. Запишем резонансные условия
К = К + k2\ со^со^ о)2 (10.23)
и попытаемся решить дисперсионное уравнение с тем, чтобы установить соотношение между o)j и kj. В общем случае задача сводится к уравнению четвертой степени относительно ю, но если
Рис. 10.4. Общий вид диэлектрической проницаемости e(w, k) при фиксированном k в случае холодной двухпотоковой системы со скоростями Vb^ и VЬг
скорости потоков достаточно разнесены, то при отыскании корней
1 и 2 можно пренебречь влиянием второго пучка, а при нахождении корней 3 и 4 — влиянием первого пучка. Тогда
й)0 ~ Ь, ®1 ~ ®2 ~ (10.24)
что с учетом законов сохранения (10.23) приводит к соотношению k0Vbt + 2(0 pbl = k0Vb, — о)рьг. (10.25)
В том же приближении имеем
[(д/да) (сое)]0 = — 2о)0/сорйг;
[(d/dco) (coe^ = 2a1/apbl; (10.26)
[(д/да) (сое)]2 = 2ai/apbl.
Заметим теперь, что при переходе от одной инерциальной системы к другой скорости Vbl и Vbt изменяются на одну и ту же величину, а это означает, что соотношение (10.25) инвариантно относительно такого преобразования. Однако частоты не остаются неизменными: по мере уменьшения V&, и УЬг они убывают и в конечном счете могут стать отрицательными. При k2>ki первой приобретает отрицательное значение частота сог. В этой ситуации
