Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Решение для трех затухающих волн
Исходная система уравнений в этом случае сводится к виду dujdt + v0u0 — ~ и^и2 cos Ф;
du^dt + v1u1 = u0u2 cosФ; ^2 1)
dujdt + v2u2 = u0u1 cos Ф;
вФ/dt = (ы1ы2/«о — u0u2/u1 •— u^uju^j sin Ф.
Эта система имеет интеграл движения
u0uyu2 sin Ф = Г exp [— (va + vx + v2) t]. (12.2)
В частном случае Г «О, рассмотрением которого мы здесь ограничимся, получим
и^щ5 sin Ф « 0. (12,3)
Найдем искомое решение, отправляясь от решения для недиссипативной среды. При Г = 0 потенциал я можно представить в следующей форме:
я (п0) = (ML — п0) (М2 — /г0) «о, (12.4)
где введено обозначение tij — Uj2, а величины
^i = «o + «2; М2 = п0 + п1 (12.5)
представляют собой константы Мэнли—Роу. Подставляя (12.4) в (9.8) и используя решение (9.11), получаем
n0(t) =M2stf {M\ut\ k), (12.6)
где
k = (Ma/Mi)7*
и предполагается, что ni(0)<rt2(0), т. е. М\>М2.
Возвращаясь к проблеме учета затухания, введем величины
m1(t)=n0 + n2, щ (0 = п0 + «1. 02.7)
79
которые, в отличие от (12.5), являются удовлетворяют уравнениям
dml , п... .. ч п_ dm,
dt
2\2т1 = (v2 — v0) 2n0;
dt
функциями времени и + 2v1m2 = (v, — v„) 2n0. (12.8)
Эти уравнения вытекают из исходной системы (12.1). Отметим важное свойство величин т\ и т2: их зависимость от времени обусловлена исключительно наличием затухания.
Из структуры (12.8) видно, что при равных vj эта система интегрируется непосредственно. Но при различных v, для ее решения требуется знать п0. Оценка этого значения, полученная с помощью решения исходной системы на аналоговой вычислительной машине, показывает, что можно использовать решение вида
п0 = (1/2) ВД О ± cosQfl. N0(0) = М2, (12.9)
где вместо эллиптической функции фигурирует косинус (такая замена правомерна при &<С 1).
Для того чтобы Г равнялось нулю при произвольной фазе Ф(0), необходимо положить /г0(0)=0 или /zi(0)=0. Знак «плюс» в (12.9) соответствует /zj(0)~0, знак «минус» — л0(0) ~0. Численный анализ показывает, что характер затухания амплитуды по такой же, как у меньшей из амплитуд ti\ и п2. Предположим для определенности, что начальное значение п2 больше п\. Тогда по будет следовать за ti\ на протяжении всего времени взаимодействия при том, однако, условии, что волна п2 обладает меньшим затуханием, чем волна п\. Если же имеет место обратное, то синхронность по с п\ возникает лишь по истечении некоторого переходного времени to, когда амплитуда п2 станет меньше щ. Эти результаты численного анализа дают основание положить
No (0 =
М2 ехр [— (v0 + vx) t\, M2aexp[— (v0 + v2) t\,
0 <t<t0-t > 0,
(12.10)
где A/2o = M2 exp [(v2 — v±) t0].
Подставляя (12.9) в (12.8) и интегрируя результирующую систему, получим следующие решения:
1) t*?.t0, тогда
т
2 v2t) +
+
М..
1 +
• еХР [— (Vo + Vj) t] + fAty,
¦ К + vx) t\ + f2 (0>
(12.11)
где а = (vx
1 + а m2(t) = М,ехр[-— v2)/(v0 — v2);
fi=± I(v, - v0)/{Q2 + 4v22)’a] N0(t) sin (Qt)-y /. = ± I(Vi - v0)/(Q2 + 4vi)’/s] N0 (t) sin (Ш);
(12.12)
2) t>t0, тогда Щ (f) = М2а exp [— (v0 + v2) t] + Д (t);
где p = (v2 — V|)/(V0 — vj; M2b = M2 exp [(vx — v0) g.
В дальнейшем будем считать, что
I Vj ,2 — V0 J <Q.
(12.14)
При этом условии вкладом величин /1,2 в тх и m2 можно пренебречь, так как |/1,2(0\<^No(i). Для получения искомого приближенного решения остается подставить mi и m2 в (12.6) вместо постоянных Mi и М2, что дает
Таким образом, получена огибающая n0(t) в полном соответствии с результатами машинного эксперимента.
Напомним, что замена эллиптической функции косинусом в
(12.6) допустима, строго говоря, лишь при условии k = = («01/^02) 1. Но при i = i0 мы имеем mi = m2 и, следова-
тельно, k — l. Это указывает на неправомерность гармонической аппроксимации в окрестности t = t0.
На рис. 12,1, а показано решение для tQ=0. В процессе взаимодействия п2 выходит на некоторый постоянный уровень, тогда как Ло и ti\ затухают, причем характер затухания обеих амплитуд одинаков, несмотря на то, что vi = 0. Рисунок 12.2, а соответствует случаю, когда затухание отсутствует только у волны п2. Тогда время перехода отлично от нуля, п0 и п2 затухают, а щ выходит на постоянный ненулевой уровень. На рис. 12.1,6 и 12.2,6 данные численных расчетов т\ и т2 сравниваются с аналитическими результатами. Как и следовало ожидать, расхождение между
