Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
'-гг + vo^o = ci ъАхА2 — iA> 2 aok I Ah
2
* ..............................Ц -' ’*
-f = c02A0A2 — \AX 2 alk | Ah |2;
¦«
+ v2^2 = c01A0 Л1 — \A2 У cc2ft I Ab i2.
9t A=0
(14.6)
93
Нелинейные слагаемые третьего порядка в этой системе вносят зависящий от амплитуд сдвиг частоты, причем он может быть как вещественным, так и комплексным. Введем величины
Cki = I chl | ехр (i0ftj) = vki exp (i0ft;);
Aj == | Aj | exp(i0/) == Uj exp (icbj);
Ф = Фо — <t>i — Фг
я перепишем (14.6):
dUj 2 2
-gp + \,u, — Uj Im a>ikuk = Vhluhut cos (Фк1 + 0Ы);
k=0
дФ 2
~~ + ^ = + VM ^ Sin Ф(«+ Qhl)-
k=0 1
Знак «минус» во втором уравнении отвечает волне 0, знак «плюс» — волнам 1 я 2.
Удобно еще раз переписать эту систему, используя обозначения
Р/ = Re a/o — Re ajl — Re a/2;
2 2 ________________ 2
Sco = V pkUk, bvj = — У] Im ajku\. ft=0 jfeo
В результате получим:
dujdt + (v0 + Sv0) u0 = cos (Ф + 012); (14.8a)
dujdt + (vx + Svx) ux = v02u0u2 cos (Ф + 0O2); (14.86)
dujdt + (v2 + 6v2) «2 = v^u^ cos (Ф + 0O1); (14. 8b)
~ + Sco = v12 -^-sin (Ф+ 012) — Vq2 -^-sin (+Ф 0O2) —
dt u0 ux
-%^-зт(Ф+0о2). (14.8r)
U 2
Несмотря на то что эта система выведена в предположении точного согласования частот (co0 = coi + С02), уравнение (14.8г) выглядит так же, как при рассогласовании частот (из-за наличия бсо). Именно поэтому величине бсо следует придать смысл нелинейного сдвига частоты. В то же время 6vj играет в системе
(14.8) роль мнимой части частоты и определяет поэтому эффективное нелинейное затухание.
Заметим, что используемый метод разложения по степеням напряженности поля можно применять, лишь если эффекты высших порядков пренебрежимо малы при умеренных значениях амплитуд. Поэтому должно выполняться условие Reaj&,
•34
(14.7)
Решение для недиссипативной среды
Начнем с рассмотрения случая, когда можно пренебречь величинами Vj и 6vj. При этом 0tj~O, л и исходная система записывается в форме, аналогичной (7.5):
dujdt = s12y12«1«2cosO; dujdt — s02yo2uou2cos Ф; dujdt = s01y0l«0«i cos Ф; (14.9}
дФ . * f u,u„
— + 6(0 = — ( S12y12 -Li dt \ u0
' SmV,
’02^02'
U0U2
+ s01v.
'oirol
WA si «2 J
sin®,
(14.10>
где Vij>0 и Sn — знаковый множитель.
Соотношения Мэнли—Роу сохраняют вид (7.10), т. е.
(^12/^12) «о (^02/^02) = Мо1:
(W^oz) U1 (S0l/y0l) U2 = ^12’
но интеграл движения (7.11) изменяется следующим образом:
= А = 0,1,2; i, )=hk. (14.11>
ийихи2 sin Ф +
Заметим, что слагаемое третьего порядка входит в это уравнение-точно так же, как и рассогласование частоты в (7.11). Но это* слагаемое более высокого порядка малости по амплитудам, чем. произведение «oWi^sin Ф, и, следовательно, его влияние существенно только при больших амплитудах.
Как и в гл. 9, сохраним знаковый множитель только для волны с максимальной частотой, т. е. положим Si2 = s, s02=Sqi = 1-Кроме того, используем нормировку (7.4), преобразуя тем самым коэффициенты связи второго порядка к единице. В результате получим систему
dujdt = sUjU2 cos Ф; dujdt = и0и.2 cos Ф; dujdt — «„«! cos Ф;
-^ + 6co=-dt
+
sin®
«2 J
(14.12)
с интегралами движения
2
SU 0 ¦
«i = M01; Ui — u\ = M
12
И (Ph/Vij -* pfc)
имиъ sin Ф+ (1/4) (spo«o + Pi«i + P2«2) = Г.
(14.14}
Решение солитонного типа. Простейшее решение системы (14.12) имеет место при s=l, MOi=Mi2 = T = 0, что соответствует ' неустойчивой системе волн с равными амплитудами «3 = «. Такая
95
система описывается уравнениями
du/dt = и2 cos Ф; (14.15)
и3 sin Ф + уи1 = 0, (14.16)
где y= (1/4)2Pj.
Подставляя (14.16) в (14.15), получаем уравнение
du/dt = + ы21/1 — у2и2, (14.17)
