Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
из которого следует, что du/dt = 0 при
и= 1/у. (14.18)
Выражение (14.18) определяет, очевидно, максимальное значение амплитуды. Решение уравнения (14.17) есть
u(t)= 1 /УуЬ+^-ф , (14.19)
где
tL = и~1 (0) 1/1 — у2и2 (0). (14.20)
В пределе у-И) (14.19) переходит в (9.18).
Рис. 14.1. Численное решение уравнения (14.19). При y=0 наблюдается неограниченный рост амплитуды, а при реализуется решение соли-
тонного типа (п—и2)
Решение вида (14.19) представляет собой солитон с единственным максимумом, амплитуда которого стремится к нулю при больших t (рис. 14.1). Время достижения максимального значения амплитуды несколько меньше времени развития взрывной неустойчивости too=\/u(0) при у = 0- Уменьшение амплитуды за точкой максимума соответствует коллапсу (аннигиляции) трех волн. Следует заметить, что такое поведение возможно и в случае у = 0 при надлежащем выборе начальных условий. Необходимо, чтобы суммарная энергия волн в начальный момент была равна нулю (как раз это условие рассматривается в настоящем разделе). Кроме того, должно быть Г = 0, что означает равенство нулю энергии взаимодействия. Из этих рассуждений вытекает, что при иных начальных условиях (если амплитуды в начальный момент различны) возможно периодическое решение (рис. 14.2).
Формулировка и решение задачи в рамках метода нелинейного потенциала. Чтобы рассмотреть более общий, чем в предыдущем разделе, случай, введем величину
>96
x(t) = s[uo (t) — Uo (0)] = Ы/ (/)
И/ (0),
J
1. 2.
Амплитуды щ (/=1,2) удовлетворяют уравнениям
du)ldt = + 2]/’uoU?ui(l — sin8®) , (14.21)
а интеграл движения (14.14) принимает вид
и0щи2 sin Ф = Г' — Y*2 — 6*, (14.22)
где Y = (1/4) (aft, + Р, + Р2); б = (1/2) 2р,«/ (0) и Г =Г - (1/4) х х [spou40 (0) + plttf (0) + (0)] = и0 (0) их (0) и2 (0) sin® (0).
помощью
Возведем (14.21) в квадрат и исключим sin® с
(14.22). Тогда получим
(1/2) {dx/dtf + я (*) = 0.
(14.23)
Рис. 14.2. Решение типа повторяющихся взрывов
По форме (14.23) совпадает с (9.8), но потенциал имеет иной вид:
я (х) = 2 \у*х* — (s — 26?) л3 — \и\ (0) + su] (0) + su23 (0) + 2уГ —
- б2]г» — [su? (0)ui (0) + ul (0)u\ (0) + ul (0)ui (0)—26Г'] a: — Г?},
(14.24)
где ri = «0(0)ui(0)«2(0)cos Ф(0). Перепишем (14.24) как
л (х) — а4х* -f agx3 -f а^х2 -f агх + а0 (14.25)
и учтем, что обычно у, 6<С1, так что Og « — 2s;
о,,« — 2 [но (0) + suj (0) + sul (0)]; (14.26)
о,« - 2 [su! (0) ul (0)+«02 (0)+и\ (0) ul (0)«? (0)].
4—1974 97
Таким образом, нелинейный потенциал я (я) может существенно изменяться при учете нелинейных эффектов третьего порядка за счет появления нового слагаемого 2у2х*.
Общее решение. Уравнение (14.23) легко решается методом разделения переменных, что дает
Как и в гл. 9, это решение выражается через эллиптические функции, но теперь его вид зависит от того, имеет уравнение л(л:)=0 все вещественные корни или два комплексных и два вещественных корня.
Рассмотрим сначала случай четырех вещественных корней. Обозначим их Xj и упорядочим так, что x\>-x2>-x^x^. Тогда
Период эллиптической функции, а следовательно, и всего решения равен АК\, где
Для двух комплексных корней из четырех перепишем я (я)
как
я (я) = — 2у2 (хх — х) (х — х2) (х2 — 2Ьх + с), (14.30)
где Xi>X2, c>b2, и введем новые величины
(14.27)
о
(14.28)
где
К = (*i—*4)
Кроме того, в (14.28) использована функция
ti (0 = (2Y/t1i) t + Ф1,
(14.29)
где
% —2 [(Xj х3) (х2 х^)] *,
а ф 1 определяется условием jci (0) = 0, т. е.
Gj = {х\ — 2bxx + c),Vl; G2 = {х\ — 2bx2 — с)4'
Тогда решение будет иметь вид
(14.31)
где
b _ **Gi — G1—Gt
ill'/»
*¦ “ {t [’ ~ Ж1’СЛ~Ь(Х1++c,l)
я
% (t) = 2 (7/TI2) * + 02, .42 = - (<WV’. (14.32)
Фазовая постоянная, как и ранее, определяется условием дс (0) = 0, из которого следует, что
Полученное решение охватывает весь возможный набор начальных условий и коэффициентов связи. Однако структура и корни потенциала л(х) при s=l и s = — 1 требуют дополнительного анализа.
