Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
(15.2)
106
мерной задержки нелинейной эволюции амплитуд. Различные типы временных зависимостей фаз рассмотрены в работе [2].
Расчет Г8ф. Из выражения (15.4) видно, что ГЭф может существенно изменяться в пределах каждого максимума. Рассмотрим это изменение в условиях, соответствующих рис. 15.1,6, когда все tij = u и все vj=v:
Гаф (0 = ехр (—3 \t) |Y —yv J ехр (3 vt) ы4 Л j .
Вблизи максимума амплитуды и можно аппроксимировать решением солитонного типа (14.19), т. е. положить
«a=h& + (*-*i)2]-1.
Величина уэф введена здесь для учета уменьшения максимального значения амплитуды (при рассмотрении первого максимума можно считать уэф^у)- Для изменения ГЭф в пределах некоторого максимума имеем
АГдф
-wexp(-3vojexp(3v0
t о
где i0<ti<t. Учитывая, что -уэф мало, можно записать
t
dt
АП
эф :
-^-larctg^ vlb 2 У3*
to
vyn
Полученное выражение для ДГЭф приближенно верно и при более общих начальных условиях, когда начальные амплитуды различны, поскольку на максимальных значениях амплитуд такое обобщение начальных условий сказывается мало.
Используем теперь величину АГЭф для расчета максимальных и минимальных значений амплитуд. При du/di=О имеем уравнение
v2«4-f- (1/2) л (ыа) = О
или
уив — ив + (va — 2-уГэф) ы4 + г4 = о.
Так как 2уАГЭф^>г2, во всех представляющих интерес случаях можно использовать ту же потенциальную функцию, что и при v = 0. Тогда из (14.34) и (14.35) получим
«макс ~ 1/72 + 27Г8ф; «мин ~ [ 1 — (2/3) уГ$ ].
Рассмотрим динамику образования максимумов и минимумов при v = 0,1; у=0,06 и Г=0 (см. рис. 15.1, б). Для первого максимума имеем имаКс«16,6 и ГЭф = ДГЭф =—43,5. Так как Г = 0, «мин»3,5 для первого минимума и «макс» 16,5 для второго максимума. При расчете второго максимума необходимо использовать Уэф = 1 /16,5, но это значение все еще близко к у, так что получаем
107
“мин~4,4 для второго минимума и ы„ац(:«16,3 для третьего максимума.
Следует обратить внимание на хорошее согласие этих результатов с данными численного анализа (см. рис. 15.1,6): максимальное расхождение (второй минимум) не превышает 4%. Рассмотренный метод расчета максимумов и минимумов можно рекомендовать для решений типа чередующихся максимумов. Если амплитуда выходит на стационарный уровень, то при расчетах значений ГЭф следует использовать именно стационарное значение амплитуды.
Асимптотический режим. Соотношение (15.4) указывает на то, что информация о начальных условиях, которая содержится в Г, с течением времени постепенно утрачивается из-за наличия экспоненциального множителя ехр[(—v0+vi + v2) t\. Это приводит к тому, что асимптотические значения амплитуд не зависят от начальных условий. Асимптотические значения амплитуд и фаз можно рассчитать непосредственно на основе (14.8), полагая 6vj = 0, duj/dt = О и дФ/д^ = 0. При нормировке (7.4) получим:
и1 = Vvftvj /совф; (15.6)
Ф = + я/2 + (l/2)arcsin2A + 2ял, (15.7)
где
А =
(15.8)
V1V2P0 + VpVaPi + V1V0P2 Ро Pi "f" Ра
а знаки «минус» и «плюс» отвечают Д>0 и Д<0 соответственно. На рис. 15.2 и 15.3 представлены результаты численного реше-
Рис. 15.2. Временная зависимость амплитуд «,• и фазы Ф для всех Vj=0,2, различных начальных значений всех амплитуд
но
108
о
t
Рис. 15.3. Временная зависимость амплитуд щ и фазы Ф при v0=0,l, vi = 0,2 и v2=0,3 (начальные значения всех амплитуд равны)
ния. Интересно сравнить также фазовые тра1ектории для недиссипативной (рис. 15.4) и диссипативной (рис. 15.5) сред.
¦рис. 15.4. Фазовая траектория, отве-'чающая решению периодического ти-ша в отсутствие диссипации (п=и2)
Рис. 15.5. Фазовая траектория при наличии диссипации, иллюстрирующая приближение к стационарному значению я(я==«г)
Эффективное нелинейное затухание. Нелинейное затухание аналогично линейному в том смысле, что оно приводит к установлению стационарного значения амплитуды (рис. 15.6). При vj=v и 6vj = 6v это значение определяется соотношением
Рис. 15.6. Временная зависимость амплитуд щ и фазы Ф при одинаковом для всех амплитуд эффективном нелинейном затухании и различных линейных затуханиях (Ima3=0,05; v0=0,l; vi=0,2; v2=0,3)
М/ = *— (3/4у) sin Ф, (15.9)
