Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
-|L + ®-?L + -3L?-?L=(r^-) • Ft = Fol + fi> '(16.9)
dt дх rtij dv \ dt /CT
и уравнения Пуассона
-~= — (16.10)
дх 8„
где в качестве пространственной переменной выбрана координата х.
Решая линеаризованное уравнение (16.9), получаем для пространственно-временных компонент Фурье
п. = Г fjdv = — AjBjE, (16.11)
J tftj
где
AI = (1 - -p- f-r- dv)~l (16Л2)
V N0j J CO+1V/ — kv J
и
В, = _!_(*----—dv. (16.13)
No] J to + iv —to
При выводе (16.11) использовано выражение (16.5) для интеграла столкновений.
С помощью (16.11) можно найти дисперсионное уравнение
е (со, k) = 1 + 4- У <4A-Bi = 0 (16.14)
Kj -м
и коэффициенты связи
.-^ПНН'Г^Х
XVf---------(16.15)
J (с0S — ivy — V)2 К — iv/ — krv)
где
де cos
to, ------------------------
S®PiAi* f* dF0f/dv -f WjAjJjjJF„j ^ (16.16)
#o/ J (Ws + ivy — V)2
dcos
Если в качестве невозмущенной функции распределения вы-*5рать максвелловскую функцию с дрейфом
F0 (v) = {Nju 1/2Й) ехр J- (о -Vtf/2u\ (16.17)
то все интегралы в (16.12), (16.13), (16.15) и (16.16) можно выразить через дисперсионную функцию плазмы [7]
121
G(l) = —=r f e*p(~*2> dx (16.18)
Vn J x — i
—oo
и ее аналитическое продолжение [1]. В дальнейшем будем использовать единое обозначение G (|) для обеих этих функций.
Численный анализ коэффициентов связи
При расчете коэффициентов связи прежде всего необходимо определить резонансные точки для частот и волновых векторов. Эти точки удовлетворяют следующим пяти уравнениям:
2Re®s = 0; (16.19)
2Л = 0; (16.20)
e(coe, ks) = 0, s = 0, 1, 2. (16.21)
Таким образом, любую из шести величин tos, ks (s = 0, 1, 2) можно взять в качестве параметра, тогда все остальные величины будут определяться с помощью (16.19) — (16.21). Мы пользовались схемой расчета, включающей следующие процедуры:
1) задание k0; __
2) определение со0 = соо(&о) по (16.21);
3) запись (16.19) в виде уравнения относительно k2
F(k а) = Re ю0 (kQ) + Re (— k0~k2) + Reco2 (k^ = 0 (16.22)
и решение этого уравнения методом итераций;
4) определение k\ по формуле k\ = —&0 —
5) определение coi (^i) и со2(&г) по (16.21).
В гидродинамической модели е(со, k) имеет вид полинома относительно со, корни которого можно найти стандартными методами. Но в кинетической модели существует трудность, связанная с выбором начальных значений при итерационной процедуре. Мы выбирали эти значения, исходя из решения дисперсионного уравнения в низкотемпературном приближении. Такой выбор целесообразен тогда, когда влияние столкновительных и температурных эффектов сравнительно невелико.
Грубую оценку резонансных величин можно получить на основе рассмотрения холодной плазмы при наличии пучка малой плотности. ИмеННО, ПрИ \k\\, | &2 | > а ре! V оь
co0«s — coPesignA:0; cor«consign соА^0б.
Подстановка этих значений в (16.19) — (16.21) дает при отрицательных k0:
== k0 -j- 2wPe/Vob, k% — Q!,,
co0 = coPe; C0j = cope\ co2 = 2o)pe.
122
При положительных fa дело сводится к изменению знаков всех частот и волновых чисел, т. е. в физическом отношении решение остается неизменным. Приведенное значение fa и было использовано в качестве начального при решении (16.22) методом итераций.
Численные значения параметров
Введем индексы } — i, е для ионов и электронов стационарной плазмы, j = b для электронов пучка и положим
V/ = V//ауре. (16.23)
Расчеты будем проводить для qL = — 1, mi = 1840, ие = 0,92-105 м/с (Те = 560К), ut = 1,6.10-2, Кроме того, в качестве исходных данных выберем k0 = —0,93 10~3; иь — 1 или 15; <врй = 3,2-10~a(/Vft = 10-3);
= 7,7 •102. В гидродинамической модели будем полагать ve= 0, в кинетической— ve = 0 или \е — 0,01.
Приведенные здесь безразмерные параметры соответствуют, например, следующим значениям физических величин: щ= 1,5-103 м/с (Г —
= 270 К); k0 = — 4,0-102 м~
со
Ре
5,6.10“ с-1; ve = 5,6-108 с-
(N0e= Ю18 м~3); а>„*= 1,8-10» с"1; Vob.= 10*- м/с (Nb = 1015 М-3); и* = 1,4-Ю6 м/с (Гь= 1,3-105
