Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
101
нем с (14.28) при s =—1. Заметив, что при у->0 оба слагаемых в
(14.28) стремятся к ±оо, перепишем его в виде
х (А - hl + Xi{li+ Ж2 № (t), fei]> _
'i + sn’H’iW. *il
_ *i (*2 — 4)1(4 —*a) + xt sna (0,
(*2 — xl)l(x1 — x2) + sn2 (t), кг]
Отсюда при Xi-*-oo имеем в полном согласии с (9.11) х (0 = *1 — (*1 — *2) sn2 [1|зх (/), kj],
где
К = ( ) '* ; ajjx (0 = (*1 — xs)V2 t + фг\
\ Х1 — *3 /
При s=l и -у^О к бесконечности стремится корень Хи что дает
К = х2 — х4; 1г = 0; = (х3 — xj/fo — *4).
Учитывая, что y~(*i)-1/2, получаем
% (0 -> — 2 —^—- + Фг = 4>i — (х* — x$ut.
х\1*2
Таким образом, решение принимает вид
х (t) —---- -----**—3 -------- *
sn2 [ 0j — (x2 — хл)/г t, kj\
где = sn-1 {[—(x2—x4)/*4]*Л, &i}. При этом время развития взрывной неустойчивости определяется соотношением
too = (х2 —— х4) Фг.
Перенумерация корней приводит к полученным ранее выражениям (9.13) и (9.14).
Рассмотрим еще переход от (14.31) к (9.15). При имеем Gi««i,*w1/y2. Следовательно,
/ц —*¦ 2G2; /2 —>- 0; b —»¦ дс2
^ if) if -f- Фа — 2 ~\/G2 t -{- (j6a.
В результате находим
*' -;X® “ 1-сп(фа-2VgT/, *2) + ^ где ?= СЯГ1 [(Ga -Ьхг)/(х2 — Ог), &J, ^
102
или
где «2= Ф2 + 2К,
_ Г___________^__________
j ]/" (1 —s2) (1 —^|*3) ’
что дает
ОО ---------
2К + Ф2 21/G
Поскольку *2->Xi и Ф2—*—Ф, видим, что полученный здесь предельный результат идентичен (9.15).
Задачи
14.1. Описать различия между соотношениями (14.1) и (7.11) и выделить среди них наиболее важные для физики явления.
14.2. Установить физический смысл Г2 в случае, когда все амплитуды равны и s= 1.
1. Fukai J., Krishan S., Harris E. G. — Phys. Rev. Lett., 1969, v. 23, p. 910.
2. Dum С. T„ Sudan R. N. — Ibid., p. 1149.
3. Dysthe -К. B. — Intern. J. Electronics, 1970, v. 29, p. 401.
4. Byers J. A., Rensink М. E., Smith J. L., Walters G. M. — Phys. Fluids, 1971, v. 14, p, 826.
5. Oraevskii V. N., Wilhelmsson H., Kogan E. A., Pavlenko V. P. — Phys. Scripta,
1973, v. 7, p. 217; Phys. Rev. Lett., 1973, v. 30, p. 49.
6. Weiland J., Wilhelmsson H. — Phys. Scripta, 1973, v. 7, p. 222.
7. Weiland J. — Ibid., 1974, v. 9, p. 343.
8. Захаров В. E., Манаков С. В. — Письма ЖЭТФ, 1973, т. 18, с. 413.
9. Hamasaki S., Krall А.-—Phys. Fluids, 1971, v. 14, p. 1441.
10. Caponi М., Davidson R. C. — Ibid., p. 1463.
11. Davydova T. A., Pavlenko V. P., Shamrai K. P. — Plasma Phys., 1975, v. 17,
Sitenko A. G. Fluctuations in Plasma and Nonlinear Susceptibilities. — Phys.
Scripta, 1973, v. 7, p. 190.
Falk L., Kocherga O. D. The Contribution to Nonlinear Frequency Shifts from Diffusion in Velocity Space. —Ibid., 1974, v. 9, p. 237.
Рабинович М. И., Реутов В. П., Цветков А. А. О слиянии волновых импульсов и пучков при взрывной неустойчивости. ¦— Журн. эксперим. и теорет. физ.,
1974, т. 67, с. 525.
Ситенко А. Г. Флуктуации и нелинейное взаимодействие волн в плазме. Киев, Наукова думка, 1977.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
р. 671.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
103
ГЛАВА 15
РОЛЬ ЗАТУХАНИЯ ПРИ УЧЕТЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ
ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Настоящая глава посвящена исследованию системы связанных уравнений при одновременном учете линейного затухания и нелинейных эффектов третьего порядка. Это исследование развивается по пути постепенного усложнения рассматриваемых проблем, начиная от сравнительно простого случая, когда фазовые углы, описывающие мнимые части коэффициентов связи, полагаются равными нулю. Тогда учет влияния линейного затухания сводится к замене решения солитонного типа решением типа повторяющихся взрывов. В асимптотическом пределе больших t это решение определяет амплитуду насыщения, для описания которой введено понятие эффективного коэффициента связи третьего порядка, зависящего от коэффициента линейного затухания и мгновенного значения амплитуды при взрыве. Показано, что начальные условия не влияют на асимптотическое значение амплитуды.
Для наглядного изображения временной эволюции рассматриваемой системы использован метод фазовой плоскости.
Далее исследуется влияние фазовых углов для коэффициентов связи второго порядка (сначала в отсутствие, а затем и при наличии линейной диссипации). Эта по существу довольно сложная проблема решена на общем уровне с последующим детальным и систематическим обсуждением результатов. В частности, найдено интересное решение, описывающее возможность экспоненциального увеличения амплитуд двух волн при одновременном выходе на асимптотический предел амплитуды третьей волны. Изучена динамика процесса локализации фазы и показано ее определяющее влияние на эволюцию системы.
