Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Savenstedt Т., Wilhelmsson Н. — Phys. Scripta, 1975, v. 11, p. 304.
2. Fuchs V., Beaudry G. — J. Math. Phys., 1975, v. 16, p. 616.
3. Minorsky N. Nonlinear Oscillations. Princeton, Van Nostrand, 1962.
4. Wang P. К. C. —J. Math. Phys., 1973, v. 14, p. 911.
5. Cap F. F. Rep. X-640-71-396 NASA Goddard Space Fligt Center, Greenbelt, 1971.
6. Tang C. L. — J. Appl. Phys., 1966, v. 37, p. 2945.
ГЛАВА 13
ВЗРЫВНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ ДВУХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ И ТРЕХ ПЛАЗМЕННЫХ ВОЛН
Три связанные волны образуют систему низшего порядка по нелинейному взаимодействию. В общем случае одна или несколько волн трехволновой системы могут быть связаны с другими волнами в плазме, что приводит к возникновению многоволновой системы взаимодействующих волн. Например, две резонансные трехволновые системы являются взаимно связанными, если они имеют одну общую волну. Подобная связь может реализоваться, в частности, при наличии трех продольных и двух поперечных волн, что и рассматривается в этой главе. При определенных ограничениях на начальные условия систему связанных уравнений удается проинтегрировать, используя метод нелинейного потенциала. Допускается наличие в рассматриваемой -системе источников свободной энергии (например, молекул с инверсной населенностью так что поперечные волны также могут пере-
носить отрицательную энергию, а это, в свою очередь, может усиливать излучение в оптическом и микроволновом диапазонах.
Уравнения движения
Рассмотрим две подсистемы, одна из которых содержит три продольные волны, а другая — две поперечные и одну продольную волны. Предположим, что связь между подсистемами осуще-
87
ствляется через общую продольную волну. Тогда резонансные условия имеют вид
koL = klL + &2L', kar = k\Tk2L. (13.1)
Частоты взаимодействующих волн удовлетворяют аналогичным соотношениям. Используя подходящую нормировку, запишем уравнения движения следующим образом:
duQL/dt = u1Lu2L cosOi; (13.2а)
duXLjdt = u0Lu2L cosOi; (13.26)
du2Ljdt = «0i«1LcosOi -f Au0TulT соэФц;] (13.2в)
du0T/dt = AulTu2L cosOn; (13,2r)
dulT/dt — A«07.«2icosOii; (13.2д>
дф1________( U1LU2L | U0LU2L | UQLU\T \ gjn \ [U0TUIT
U0L UIL U2L J U2L
дФП
dt
(13.2e>
= _ A ( + -0-r-“-1L- + Sin фп _ M°^sin Фь
\ U0T UIT U2L J U2L
(13.2ж)
где ^ .
Ф1 = Фо/.— Ф^— ф2й Фп = Фо т — Ф1Г — Ф2 L- (13.3)
Отметим, что для двух трехволновых подсистем амплитуды не удается нормировать так, чтобы все коэффициенты связи были равны единице: остается в общем случае отличный от единицы коэффициент А, который служит мерой связи между подсистемами.
Интегралы движения и аналитические решения системы связанных уравнений
Система (13.2) имеет следующие интегралы движения:
(13.4)
Uql — Ч2Ц =
Uqt — т = М2;
и2 L UlT — ll\L=
W0LWlLU2LSin<I)l +Лы07.ы17.ы21_5шфц = Г. (13.5)
Аналитическое решение системы (13.2) удается получить для Г = 0. При этом имеет место еще один интеграл движения
«07.«17.sin®n = Г\, (13.6)
в чем нетрудно убедиться на основе уравнений (13;2г), (13.2д), (13.2,ж), (13.5).
88
Выразив cos Ф1 и cos Фц через амплитуды и Гь перепишем уравнения (13.2а) и (13.2г) в виде
du\L/dt = 2u2L (u\Lu\L — АТ,)'/.; (13 7а)
du\T/dt = 2Au2L(ul1u2lT~riY/!. (13.76)
Наконец, введя обозначения х = uIl, У = «ог и использовав
(13.4), получим уравнение
dy/dx = А [у (у — М2) — Т\]Чг/[х (х — Mj) — Л2ГП'Л. (13.8)
Это — уравнение с разделяющимися переменными, и его инте-
грирование позволяет найти у как функцию х. Для простоты положим /Иг = 0. Тогда
¦Л
+ ГГ
У =
'АЮ*(х)-Г‘п '
2AG(х)
= ВД, (13.9)
где
G(x) = [2(х2 — М1х-А2Т\Уи + 2х — М1\А-, (13.10)
А = ------------У° ;-(Уо~ ri) /-----------. (13.11)
[2 (x20-MlXo - Л'Г?)^ + 2*0 - М,]А хо = х(0), У0 = УФ).
Теперь (13.7а) можно представить в виде
dx/dt = 2«2i (х2 — М±х — (13.12)
