Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Важно подчеркнуть, что практически все особенности решений, найденных в этой главе, существенно обусловлены когерентным взаимодействием и полностью утрачиваются в приближении случайных фаз.
При наличии затухания проводимости как второго, так и третьего порядка имеют вещественные части. При этом коэффициенты связи комплексные, что можно учесть введением мнимых частей vj частот (Dj. Результирующая система, вообще говоря, приобретает вид (14.8). Однако в предположении Vj-CtDj получим Imajft-C <CReajfc, так что влияние величин 6vj будет сказываться при больших амплитудах по сравнению с влиянием бю. Поэтому в первом приближении величинами 6vj можно просто пренебречь. Кроме того, пренебрегают также различием между фазовыми углами 0ij, а при надлежащем выборе Ф(0) можно считать, что 0ij«O. Такое предположение нередко соответствует действительности (ср. с гл. 16).
104
Приближенный учет линейного затухания
Основываясь на интерпретации взаимодействия волн как движения в поле потенциала л (я), можно ожидать, что при учете затухания кинетическая энергия частиц будет постепенно уменьшаться, так что в конечном итоге частицы окажутся на дне потенциальной ямы. Это означает выход амплитуд на постоянный асимптотический уровень, что и происходит на самом деле. Такая картина должна иметь место и в случае полученного в предыдущей главе решения солитонного типа. Отсюда следует, что при учете затухания решение солитонного типа переходит в решение осциллирующего типа (рис. 15.1).
Рис. 15.1. Потенциальная функция п(х), соответствующая решению солитонного типа в отсутствие диссипации; пунктирная кривая дает представление о постепенном уменьшении амплитуды колебаний при наличии диссипации (a), a также временная зависимость амплитуд Uj и фазы Ф при Vj = 0,l и Г=0 (в отсутствие диссипации решение имеет вид солитона) (б)
Математическое описание этого явления достаточно трудно даже при условии, что все vj=v и все 0,3 = 0. Дело в том, что из-за наличия нелинейного сдвига частоты систему связанных уравнений не удается преобразовать к виду, соответствующему недиссипативной среде, и поэтому на первый взгляд представляется невозможным найти обобщенный интеграл движения (14.14). Тем не менее упомянутый интеграл движения удается представить в следующем виде:
sin® + (1/4) 2 = Г ехр ]— (v0 + v* + v2) /] -f-
, t + — exp f— (v0 -f Vi + v2) t] j exp [(v0 + vx -f v-J t\(v0+ +
0
+ v2 —4 Vj)u)dt. (15 1)
105
Как видно, интеграл в правой части (15.1) пропорционален как Рз, так и Vj. Более того, его начальное значение равно нулю, так что при малых t этим интегралом можно пренебречь. Соотношение (15.1) без интегрального члена можно получить и иным способом. Положим для простоты vj~v и uj = u. Тогда du2/dt + 2vm2 = 2 и3 cos Ф;
(d/dt) (и3 sin Ф) + vm3 sin Ф = — 4уиъ cos Ф.
С помощью преобразования ы = ыехр (ytf) и r=(l/v)[l—ехр(—vtf)l перейдем к уравнениям
diP/dt = 2 и3 cos Ф; (15 .За)
(d/dt)(u?sтФ) = —у [1 — vt] иъ соэФ. (15.36)
Эта система отличается от аналогичной системы для недиссипативной среды наличием множителя 1—vr=exp (—vt). Учитывая, однако, что правая часть (15.36) существенно отлична от нуля только вблизи максимума амплитуды, можно вместо уО—vt) ввести новый коэффициент уэф, считая, что он принимает постоянные значения, соответствующие различным максимумам амплитуды, и пренебрегая его изменением в пределах каждого максимума. Однако это довольно грубое приближение, что не является неожиданным, так как значительный вклад должно давать интегрирование по области максимума.
Чтобы использовать аналогию со случаем недиссипативной среды, полезно ввести в рассмотрение величину ГЭф, определив ее так, что
Гэф (0 = ехр [— (v0 + vj + v2) t] x X |г + -j- j exp [(v0 + Vj + v2) t\ J Р/ (v0 + Vi + v2 — 4vj) u)dt^ . (15.4)
Как ясно из (14.34) и (14.35), изменение ГЭф сказывается, в основном, на минимальных значениях амплитуд. Если все vj = v>0 и все Pj имеют одинаковый знак, то максимум амплитуды уменьшается при любом знаке р3-. Однако относительное изменение сильно зависит от значений ГЭф, Vj и р3-.
Из (15.4) видно также, что даже при Г = 0 величина ГЭф(0 не обращается в нуль при t^0. Это означает, что когда все uj = u, решение солитонного типа переходит в решение осциллирующего типа. Можно объяснить также временные зависимости фаз, показанные на рис. 14.2 и 15.1,6. Для этого запишем (15.1) как
sin Ф = [ — (1 /4) 2 М/ + ГэФ (0] /m0“im2 • (15.5)
Отсюда следует, что если числитель не изменяет знак за период колебаний, то функция Ф является осциллирующей. Когда все Pj>0 и все vj = v>0, ГЭф(0 уменьшается с течением времени, пока числитель не станет отрицательным. Поэтому при слабом затухании может наблюдаться переход от монотонного изменения фазы к осцилляторному [1]. Такой переход может служить причиной вре-
