Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Как будет показано ниже, учет эффектов третьего порядка обычно приводит к стабилизации взрывной неустойчивости без каких-либо дополнительных условий, тогда как для стабилизации за счет линейного затухания необходимо превышение некоторого порогового значения.
Проблема стабилизации взрывной неустойчивости интенсивно исследовалась в последние годы. В работе [1] развита теория нелинейного сдвига частоты и в результате найдено предельное значение амплитуды для системы трех продольных волн, распростра-
91
няющихся перпендикулярно внешнему магнитному полю. Несколько позднее 12] был предложен механизм стабилизации же-лобковой неустойчивости в зеркальных ловушках, который сводится к появлению сдвига мнимой части частоты при резонансном уширении из-за случайного движения частиц поперек магнитного* поля. Такой механизм может быть эффективным только для волн со случайными фазами. В 1970 г. была предсказана возможность стабилизации взрывной неустойчивости на основе рассмотрения гамильтониана для трехволновой системы с учетом нелинейного сдвига частоты [3]. В работе [4] представлены результаты численного эксперимента по взаимодействию трех циклотронных воли, распространяющихся перпендикулярно магнитному полю. Эти результаты (в частности, зависимость энергии от комбинированной фазы Ф) хорошо согласуются с выводами теории, в которой учитывается нелинейный сдвиг частоты. Было показано также, что стабилизация наступает при электрических полях, значительно возмущающих орбиты частиц.
Подробный анализ связанных уравнений, описывающих взрывную неустойчивость при учете нелинейного сдвига частоты, проведен в работах [5]. В первой из них получено решение солитон-ного типа, а во второй — решение типа повторяющихся взрывов (последнее имеет место при более общих начальных условиях и выражается через эллиптические функции). В дальнейшем это исследование было продолжено в направлении учета линейного затухания и мнимой части нелинейного сдвига частоты. В работах 16, 7] содержатся результаты численного решения общей системы нелинейных уравнений, записанных с точностью до членов третьего порядка малости включительно, а также некоторые аналитические результаты, относящиеся к учету линейного затухания и исследованию асимптотического поведения.
В 1973 г. на основе рассмотрения пространственно-временной эволюции системы трех взаимодействующих волновых пакетов было показано [8], что неустойчивость взрывного типа может приводить к локальный «коллапсам», т. е. к сингулярностям поля волны. В этом случае нелинейный сдвиг частоты недостаточен для стабилизации неустойчивости. Амплитуды, однако, могут ограничиваться за счет эффекта нелинейного затухания.
Несколько иной подход к проблеме стабилизации взрывной неустойчивости развит в работе [9], где рассмотрена система с источником свободной энергии в виде потока частиц и при этом учтено влияние волн на распределение частиц. Увеличение амплитуды приводит к уширению распределения частиц и уменьшению свободной энергии. В конечном счете наступает стабилизация неустойчивости из-за изменения диэлектрических свойств плазмы. Аналогичное исследование для волн со случайными фазами проведено в работе |"Ш]-
В [11] рассчитаны максимальные значения амплитуд'при учете нелинейного сдвига частоты в плазменно-пучковой системе с двумя плазменными и одной ионно-звуковой волной.
92
Вывод связанных уравнений с учетом нелинейных токов третьего порядка
При получении связанных уравнений, описывающих нелинейное взаимодействие в третьем приближении, будем исходить формулировки теории, приведенной в гл. 5. Учитывая нелинейный ток с точностью до членов третьего порядка включительно,, записываем
D, (со, k) Ej = i7'2) + iJf. (14.1)
Положим со = со j—i (vj + d/dt) и разложим левую часть в окрестности оз = со,-:
(dDj/daj) (dEj/dt + v,?y) = - lf] - 7f>. (14,2>
Здесь vj соответствует мнимой части частоты и не зависит от взаимодействия волн, а нелинейные токи имеют ту же пространственную зависимость и почти ту же временную зависимость, что и амплитуды Ej. Следовательно,
^2)= И (14.3)
(ki+kA=kj)
И
Ц (14.4)
(ki+kfc+k;-kj)
Вклад токов третьего порядка отвечает учету четырехволнового взаимодействия. Но так как в нашем распоряжении имеются только три волны, две из четырех волн должны совпадать. Легко показать, что резонансное условие kj + kfe+k( = kj удовлетворяется, если поля двух из волн i, k, I комплексно-сопряженные, a kj — волновой вектор третьей волны. При этом
=?/1]а-адВД, k =0,1,2. (14.5)
k
Соотношений (14.2) и (14.5) достаточно для вывода связанных уравнений с учетом нелинейных величин третьего порядка. В качестве амплитуды Е можно взять любую полевую величину или нормальное колебание. Ниже будет использовано представление нормальных колебаний. Учитывая, что проводимость может быть мнимой даже в бесстолкновительной плазме, сохраним мнимую единицу i при записи добавочной части коэффициента связи. Результирующая система нелинейных уравнений принимает следующий вид:
