Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
у = у0 ехр (— р//2) [cos (bt/2) + (р/б) sin (6//2)]; «2 = (*/0/6) ехР (— Pt/2) sin (bt/2),
(12.25)
где б = (4 — р2)1/г; ,р = 2, тогда
У = Уъ(1 + 0 ехр (— 0; и2 = (y0/2)exp(—t);
¦р > 2, тогда
у = у0ехр (—pt/2) [ch (At/2) + (р/А)sh(А//2)]; и2 = (Уо/А) ехр (— pf/2) sh (At/2),
(12.26)
(12.27)
где А = (р2 — 4)‘/з. .84
Учитывая вид решений уравнения (12.20) при слабой нелинейности и отсутствии затухания, можно получить решения этого уравнения при р<2:
и0 = т sn (/ + К, т); иг — dn (t + К, т); и2 = — т cn (t + К, т),
(12.28)
где т = и0 (0) ехр (— р//2).
Обратим внимание на то, что это решение представляет собой частный случай (12.15). Кроме того, оно имеет тот же вид, что и решение, полученное в [5] методом Боголюбова—Крылова.
О 2 if 6 8 t 0 2 4 6 8 t
а 5
и2 -
W
0,5
Z If 6 8 t
р
Рис. 12.3. Временная зависимость величины «2=—(1/2)dyjdt, где у — решение уравнения (12.24) при р=1 (а), р = 2 (б) и р = 5 (в)
Наоборот, при сильном затухании, т. е. при р>2, можно воспользоваться разложением по степеням 1/р, с помощью которого исходное уравнение (12.20) преобразуется к виду
dy/dt = — (1/р)sin г/— (1/p2) (dy/dt)cosy, (12.29)
а на основе этого уравнения можно уже получить следующие выражения для амплитуд:
u0 = f/(i+nif’; «x = //(i+/2)vsi П2 30)
ы2 = [1 — exp (— рt)] f/p (1 + /2), J
где
/ = [«о (0)/«1 (0)] ехр (— а р).
Интересно отметить, что релаксация к асимптотическому состоянию происходит как при р<С2, так и при р>2 медленнее, чем при р = 2. Увеличение времени релаксации при р;§>2 объясняется тем, что из-за малости амплитуды «2 нелинейное взаимодействие при этом неэффективно. Решение для сильно затухающей волны рассмотрено также в [6].
Временные зависимости амплитуды ы2, полученные в результате численного интегрирования уравнения (12.20), приведены на рис. 12.3, а—в.
Пусть теперь Г=?0. Отличительной особенностью этого примера является положительная определенность амплитуд Uj. В этом
85
можно убедиться, рассматривая потенциал л(;с) или обобщая уравнение (12.20) на случай Г=т^0:
d2y/dt2 + рdy/dt -f- sin у = 16Г2 ехр (— 2р/) cos у/sin3 у. (12.31)
При получении этого уравнения, как и ранее, использовались
определения (12.18) и у = 2\|). Тем не менее
dty/dt = —U-2 cos Ф (12.32)
и интеграл движения имеет вид
Г = — (1/4) sin г/ (^г//^) tgФ ехр (р/). (12.33)
Из (12.31) видно, что при стремлении у к нулю резко увеличивается d2yldt2 и в итоге у снова начинает возрастать. Результаты численного интегрирования уравнения (12.31) при г/(0) = 1,6, дг/(0)/д/ = 0,2, Ф(0)=0,8 и Г = —0,05 показаны на рис. 12.4, а, б.
а
Рис. 12.4. Временная зависимость величины нения (12.31) при Г=—0,05,
5
uo=sin((//2), где у— решение урав-= 0,2 (а) и р = 2 (б)
Следует обратить внимание на отличие от нуля минимумов на рис. 12.4, а и апериодический характер зависимости амплитуды «о при р = 2 (см. рис. 12,4,6).
Отметим в заключение возможность обобщения полученных результатов на случай, когда две волны (и0 и и2) затухают одинаково (vi = v2 = v). Введем подстановки п0 = и0ехр (\t), и; = = «iexp(v^) и, как и прежде, положим /г0=sin гр, ni = cosi|5, и2 = = —dty/dt и г/ = 2ф. В результате вместо (12.20) получим
d2y/dt2 -f- рdy/dt + ехр (— 2vt) sin у = 0. (12.34)
Наличие экспоненциального множителя в последнем слагаемом приводит к усложнению анализа в области промежуточных времен. Однако при больших t этим слагаемым можно пренебречь. При Г =7^=0 правая часть (12.34) приобретает тот же вид, что и в (12.31). -
86
Задачи
12.1. Объяснить на основании результатов теории нелинейного маятника существование двух незатухающих волн на начальной стадии процесса, а также существование времени перехода для случая, показанного на рис. 11.2, а, когда волна с положительным коэффициентом связи первоначально сильно возбуждена по сравнению с остальными волнами.
12.2. Установить вид движения нелинейного маятника, отвечающий эволюционной картине, которая изображена на рис. 2.3. Как изменится этот вид, если ввести затухание волны '2? Что произойдет, если наряду с этим считать затухающими также волны 0 и 1, причем коэффициенты затухания равны? Рассмотреть отдельно случаи, когда эти волны затухают сильнее, слабее волны 2 и так же, как волна 2.
