Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
74
волны 2 и 0 имеют отрицательную энергию, а волна 1 — положительную, но условие взрывной неустойчивости продолжает выполняться, так как именно волна 1 имеет наибольшую частоту. При дальнейшем уменьшении Vbl и Уьг становится отрицательной частота ю0. Однако условие неустойчивости выполняется и при этомг так как теперь энергии волн 0 и 1 положительны, а энергия волны
2 отрицательна, и как раз эта волна имеет максимальную частоту. Наконец, при отрицательном coi наибольшую абсолютную частоту будет снова иметь волна 0, причем ее энергия положительна, а энергии волн 1 и 2 отрицательны, что и требуется для развития взрывной неустойчивости.
Задачи
10.1. На рис. 10.2 показано решение для случая, когда две фазы 0,,- различаются в точности на я. При этом Ф осциллирует около значения, близкого-к я/2. Это означает, что фаза Ф+012, соответствующая третьей волне, в среднем находится в правой полуплоскости. Возможно ли подобное при осцилляции фазы Ф в окрестности значения—я/2?
10.2. Когда все Vj = v, но все 0,-j различны, существует решение, при котором Ф постоянно. Найти это решение.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wilhelmsson Н., Stenflo L., Engelmann F. — J. Math. Phys., 1970, v. 11, p. 1738,
2. Jarmen A., Stenflo L., Wilhelmsson H., Engelmann F.— Phys. Lett., 1969, v. 28A, p. 748.
3. Wilhelmsson H. — Phys. Rev., 1972, v. A6, p. 1973.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Stenflo L., Weiland J., Wilhelmsson H. — Phys. Scripta, 1970, v. 1» p. 46. Jackson E. A. — J. Math. Phys., 1972, v. 13, p. 1189.
Wang P. К. C. — J. Math. Phys., 1972, v. 13, p. 943.
ГЛАВА 11
НЕЛИНЕЙНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН С РАЗЛИЧНЫМ ЗАТУХАНИЕМ ПРИ ВЗРЫВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
В плазме распространяется много волн различных типов (особенно при наличии внешнего магнитного поля). Их свойства могут сильно различаться из-за разных скоростей распространения волн, и, что не менее важно, волны иногда имеют существенно различные диссипативные характеристики. Затухание разных воли может не только сильно отличаться по величине, но и иметь разную физическую природу (затухание Ландау для коллективных волн типа плазменных или ионно-звуковых волн и столкновитель-ное затухание для поперечных электромагнитных волн). Следовательно, коэффициенты, описывающие линейное затухание (или нарастание) в системе связанных нелинейных уравнений, в общем случае должны быть различными.
Проблема описания трехволнового взаимодействия при таком
75
предположении оказывается далеко не тривиальной. Общее аналитическое решение соответствующей системы уравнений получить не удается и приходится прибегать к приближенным методам, использование которых часто приводит к полезным результатам. При этом удобно отдельно рассматривать режим взрывной неустойчивости и нелинейно-устойчивый режим.
В этой главе рассмотрен пример взрывной неустойчивости в предположении, что различие между коэффициентами затухания достаточно мало для того, чтобы можно было получить приближенное решение, правильно описывающее характер нелинейной эволюции системы (критерием правильности служит сравнение с результатами прямого машинного анализа исходной системы связанных уравнений). Исследуется также возможность обобщения теории на случай нестационарной среды и получения асимптотических разложений с помощью метода интегрирования по частям.
Если линейное затухание всех взаимодействующих волн различно, то с помощью преобразований вида (10.7) не удается перейти к системе, в которой все Vj = 0. Тем не менее для взрывной неустойчивости можно найти приближенное решение, идея которого заключается в следующем [!]• Вследствие взаимодействия каждая волна подвергается влиянию не только собственного затухания, но и затухания остальных волн. При больших амплитудах это перемешивание затуханий становится очень эффективным, и в результате каждая волна испытывает некоторое усредненное затухание. Однако на начальной стадии (до того как нелинейные слагаемые станут определяющими) волна фактически испытывает лишь свойственное ей затухание. В связи с этим вначале различаются и скорости эволюции различных волн, но в дальнейшем благодаря эффекту перемешивания они выравниваются, что в конечном счете приводит к единому моменту взрыва для рассматриваемой системы.
Из этого рассмотрения следует, что для построения решения можно по-прежнему использовать преобразование амплитуд типа
(10.7), но при этом необходимо учитывать временную зависимость затухания каждой волны. Что же касается преобразования времени, то его можно определить одинаково для всех волн, так как численные эксперименты показывают, что упомянутое выше время перемешивания очень мало. В результате получим приближенное решение вида
Приближенное решение для стационарной среды
Uj (t) = U; (т) exp [ — J hj (О dt'
(11.1a)
о
где
т = j exp f — [а (t") dt" dt
